Věta o obvodovém a středovém úhlu

Věta o obvodovém a středovém úhlu je matematická věta popisující vztah mezi obvodovým a středovým úhlem příslušných jednomu oblouku kružnice.

Znění

Obvodové úhly θ (modře a zeleně) přísluší stejnému oblouku (purpurově). Středový úhel 2θ (červeně) přisluší témuž oblouku, a proto je dvakrát větší.

Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného témuž oblouku.

Důkaz

Pro důkaz věty o obvodovém a středovém úhlu se popisují tři případy polohy ostrého obvodového úhlu vůči středu kružnice:

1. Střed kružnice ležící na rameni obvodového úhlu

Bod O (střed kružnice k) leží na jednom rameni ostrého obvodového úhlu AVB. Body A, V a B leží na kružnici k, přičemž bod V je vrcholem daného obvodového úhlu a body A a B prochází ramena tohoto úhlu. Trojúhelník VAO je rovnoramenný, protože délky úseček OV a OA (poloměry kružnice) jsou shodné. Z toho vyplývá, že úhly AVO a VAO jsou velikostně také shodné. K velikosti úhlu VOA lze dojít dvěma způsoby:

a) dopočtením vnitřního úhlu trojúhelníku VAO pomocí velikosti obvodového úhlu ψ:

$180^{\circ }-2\psi$

b) odečtením úhlu θ od přímého úhlu VOB, kdy θ je středový úhel příslušný menšímu oblouku AB:

$180^{\circ }-\theta$

Z čehož vyplývá:

$180^{\circ }-2\psi =180^{\circ }-\theta$

$\theta =2\psi$.

2. Střed kružnice ležící uvnitř obvodového úhlu

Jestliže je bod O vnitřním bodem obvodového úhlu CVD, pak polopřímka VO protíná menší oblouk CD v bodě E a dělí jej na dva oblouky CE a DE. Oblouku DE přísluší obvodový úhel DVE a středový úhel DOE. Podle prvního důkazu je velikost úhlu DOE dvojnásbná velikosti úhlu DVE. Stejně tak lze první důkaz aplikovat pro úhly CVE a COE. Výslednými vztahy jsou rovnice:

${\theta }_1=2{\psi }_1$

a

${\theta }_2=2{\psi }_2$,

kde ψ₁ a ψ₂ jsou obvodové úhly a θ₁ a θ₂ jsou úhly středové. Sečtením obou rovnic vznikne:

${\theta }_1+{\theta }_2=2{\psi }_1+2{\psi }_2$

${\theta }_1+{\theta }_2=2({\psi }_1+{\psi }_2)$

Součet obvodových úhlů ψ₁ a ψ₂ je roven ψ₀ a součet středových úhlů θ₁ a θ₂ je roven θ₀, z čehož plyne:

${\theta }_0=2{\psi }_0$.

3. Střed kružnice ležící vně obvodového úhlu

Jestliže bod O nenáleží obvodovému úhlu DVC, pak polopřímka VO protíná kružnici k v bodě E. K menšímu oblouku ED přísluší obvodový úhel EVD a středový úhel EOD; přitom bod O leží na jednom rameni obvodového úhlu. Podle prvního důkazu je středový úhel EOD opět dvakrát větší než obvodový úhel EVD. Stejně tak je i velikost úhlu EOC dvakrát větší než EVC. Výslednými vztahy jsou rovnice:

${\theta }_1=2{\psi }_1$

a

${\theta }_2=2{\psi }_2$,

kde ψ₁ a ψ₂ jsou obvodové úhly a θ₁ a θ₂ jsou úhly středové. Odečtením těchto rovnic vychází:

${\theta }_2-{\theta }_1=2{\psi }_2-2{\psi }_1$

${\theta }_2-{\theta }_1=2({\psi }_2-{\psi }_1)$

Rozdíl obvodových úhlů ψ₂ a ψ₁ je roven ψ₀ a rozdíl středových úhlů θ₂ a θ₁ je roven θ₀, z čehož vyplývá:

${\theta }_0=2{\psi }_0$.

Větší oblouk a půlkružnice

Pro větší oblouk a půlkružnici je důkaz jednodušší, nastane totiž pouze případ 2.

Důsledky věty

Velikost obvodových úhlů pro daný oblouk AB se nemění.

Z věty o obvodovém a středovém úhlu vyplývají tyto důsledky:

• Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku jsou shodné
• Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý
• Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý
• Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý - tato věta byla dokázána již Thalétem z Milétu, a je po něm také pojmenována Thaletova věta
• Součet obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům AB (menšímu a většímu) je úhel přímý

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Thaletova věta
• Středový úhel
• Planimetrie