Hyperbolický kosinus

Graf hyperbolického kosinu

Hyperbolický kosinus je sudá hyperbolická funkce.

Definice

$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Vlastnosti

$D(\cosh x)=ℝ$ – definiční obor funkce $\cosh x$

$H(\cosh x)=⟨1,\mathrm{\infty })$ – obor hodnot funkce $\cosh x$

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

důkaz tohoto tvrzení ${\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^2=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\frac{4}{4}=1$, kde $e$ je Eulerovo číslo

$1-{\tanh }^{2}x=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}$, kde $\tanh x$ je hyperbolický tangens

$\cosh 0=1$

$\cosh x=\cos (ix)=\cos (-ix)$, kde $i$ je imaginární jednotka

$(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x$ derivace hyperbolického kosinu podle $x$, kde $\sinh x$ je hyperbolický sinus

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$, kde $C$ je integrační konstanta

$\cosh x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k}}{(2k)!}$

Inverzní funkcí k hyperbolickému kosinu je hyperbolometrická funkce $\mathrm{argcosh}x$ (argument hyperbolického kosinu).

Graf

Pro $x<0$ je $\cosh x$ klesající a pro $x>0$ rostoucí.
Grafem hyperbolického kosinu je křivka známá jako řetězovka.