Ruffiniho pravidlo

V lineární algebře Ruffiniho pravidlo dovoluje dělit jednoduchým způsobem jakýkoliv polynom polynomem prvního řádu ve formě (x-a). Pravidlo popsal italský matematik Paolo Ruffini v roce 1809. 

Algoritmus

Ruffiniho pravidlo stanovuje metodu dělení polynomu

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

polynomem

$A(x)=x-r$

pro dosažení vysledku

$Q(x)=b_{n-1}{x}^{n-1}+b_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_0$

a zbytek R, což je konstanta, případně nula.

Algoritmus není nic jiného než dělení polynomu P(x) lomeno A(x), ovšem zapsáno ve zjednodušené formě.

Pro dělení P(x) lomeno A(x) postupujeme takto:

1. Vezmeme koeficienty P(x) a zapíšeme je do prvního řádku v pořadí podle mohutnosti x. Do druhého řádku před svislou čáru zapíšeme  r  (konstanta polynomu A(x)):
   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & & & & & \end{array}$
2. Zkopírujeme koeficient (a_n) dolů pod čáru:
   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$
3. Vynásobíme nejpravější číslo z těch, co jsou pod čarou, krát r a výsledek zapíšeme do řádku nad čarou o jednu pozici vpravo:
   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}\cdot r& & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$
4. Sečteme tuto hodnotu s hodnotou nad ní a výsledek zapíšeme pod čáru:
   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}\cdot r& & & \\ & a_n& b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}& & & \\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& & & \end{array}$
5. Opakujeme operaci dokud nedojdeme na konec tabulky
   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}\cdot r& \dots & b_1\cdot r& b_0\cdot r\\ & a_n& b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}& \dots & b_1\cdot r+a_1& a_0+b_0\cdot r\\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& \dots & =b_0& =R\end{array}$

Hodnoty

$b_{n-1},b_{n-2},\dots ,b_0$

jsou koeficienty výsledky Q(x), jehož řád je o jedno menší než řád P(x). R je zbytek po dělení a je to konstanta (není to funkce x).

Příklady

Dělení polynomem (x − r)

Mějme

$P(x)=2x^3-5x^2-x+6$

$A(x)=x+1$

Chceme vydělit P(x) lomeno A(x) s použitím Ruffiniho pravidla. První problém je v tom, že A(x) není ve formě (x − r), ale (x + r). To ovšem není vážný problém, stačí zapsat A(x) jako

$A(x)=x+1=x-(-1)$

Jdeme na to:

1. Zapíšeme koeficienty P(x) a r:
   $\begin{array}{ccccc}& +2& -5& -1& +6\\ -1& & & & \\ & & & & \end{array}$
2. Zkopírujeme první koeficient dolů:
   $\begin{array}{ccccc}& +2& -5& -1& +6\\ -1& & & & \\ & +2& & & \end{array}$
3. Vynásobíme nejpravější číslo pod čarou krát r a výsledek zapíšeme do následující pozice nad čarou:
   $\begin{array}{ccccc}& +2& -5& -1& +6\\ -1& & -2& & \\ & +2& & & \end{array}$
4. Sečteme hodnoty ve druhém sloupci, výsledek zapíšeme pod čáru:
   $\begin{array}{ccccc}& +2& -5& -1& +6\\ -1& & -2& & \\ & +2& -7& & \end{array}$
5. Opakujeme body 3 a 4 dokud nedojdeme na konec tabulky:
   $\begin{array}{ccccc}& +2& -5& -1& +6\\ -1& & -2& 7& -6\\ & +2& -7& +6& 0\end{array}$

Dostali jsme tedy výsledek, pro který platí:

$P(x)=A(x)\cdot Q(x)+R$

kde

$Q(x)=2x^2-7x+6$

$R=0$.

Dělení polynomem (ax − k)

Aplikací jednoduché transformace můžeme použít Ruffiniho pravidlo i pro polynomy ve tvaru $A(x)=ax-k$. 

$P(x)=(ax-k)\cdot Q(x)+R(x)$

Bude stačit vydělit všechno koeficientem a, který je vždy různý od nuly (jinak by to nebyl polynom).

$\frac{P(x)}{a}=\frac{(ax-k)\cdot Q(x)}{a}+\frac{R(x)}{a}$

Nechť $P(x)/a=P^{\prime }(x)$ a $R(x)/a=R^{\prime }(x)$, dostaneme:

$P^{\prime }(x)=(x-\frac{k}{a})\cdot Q(x)+R^{\prime }(x)$

Takže $Q(x)$ je též výsledek dělení $P^{\prime }(x)$ lomeno $(x-k/a)$, který se vyřeší výše uvedeným algoritmem. Abychom dostali zbytek $R(x)$ bude stačit vynásobit zbytek který jsme dostali $R^{\prime }(x)$ krát $a$.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat