Ohyb

Prostý nosník namáhaný ohybem

Ohyb charakterizuje chování prvku (například stavebního či strojního) v závislosti na vnějším zatížení, které působí kolmo na podélnou osu elementu. Ohyb je možné reprezentovat jako dvojice působení podélného tahového a tlakového namáhání, mezilehlá osa, která namáhána není, se nazývá neutrální osa.

Ohyb nosníku

Bernoulli-Navierova hypotéza

Grafické znázornění zachování rovinnosti průřezu po deformaci

V Bernoulli-Navierově hypotéze (dále jen BN) v teorii ohybu je základním předpokladem splnění rovinnosti průřezu. Jinými slovy musí platit, že průřez, který je rovinný a kolmý na střednici prutu před deformací musí být rovinný a kolmý na střednici i po deformaci. Tento předpoklad tedy zanedbává vznik smykové deformace.

Představme si, že máme nosník z homogenního isotropního materiálu, který je zatížen spojitým zatížením $q(x)$. Pokud budeme předpokládat platnost BN hypotézy spolu s předpokladem malých deformací, potom lze podélnou deformaci tohoto prutu popsat diferenciální rovnicí, která nabývá tvaru

$u=\frac{dw}{dx}z$,

kde $u$ je deformace ve směru podélné osy prutu. Pokud se nacházíme v oblasti pružné deformace, potom musí platit tato geometrická rovnice

${\epsilon }_x=\frac{du}{dx}=\frac{d^{2}w}{d{x}^2}z$

a také samozřejmě fyzikální rovnice dávající do souvislosti poměrnou deformaci a napětí (nazývána též Hookův zákon). Tato rovnice je tvaru

${\sigma }_x=E{\epsilon }_x$

Po dosazení dostáváme

${\sigma }_x=E\frac{d^{2}w}{d{x}^2}z$

V jednoduchých variantách ohybu se předpokládá, že deformace je způsobena právě ohybovým momentem (zanedbáme kroutící momenty a jiné silové i nesilové účinky), jehož působení po průřezu lze zapsat též diferenciální rovnicí. Tato rovnice vyjadřuje skutečnost, že moment je roven součinu všech normálových sil působících na průřezu a jejich vzdáleností od neutrální osy. Pokud ohyb probíhá v rovině $xz$, potom platí

$M_y=\underset{A}{\int }{\sigma }_{x}zdA$,

kde $A$ je plocha průřezu kolmého na podélnou osu prutu. Nyní můžeme dvě výše uvedené rovnice dosadit do sebe a spolu s uvážením faktu, že moment setrvačnosti $I_y=\underset{A}{\int }{z}^2$, musí platit

$M_y=E{I}_y\frac{d^{2}w}{d{x}^2}$

kde $E$ je Youngův modul pružnosti, $I$ je moment setrvačnosti průřezu a $w(x)$ je funkce popisující deformaci (posun) neutrální osy nosníku.

Toto je základní diferenciální rovnice ohybu prutu za předpokladu BN hypotézy, též nazývaná rovnice ohybové čáry.

Odkazy

Literatura

• ŠEJNOHA, J., BITTNAROVÁ, J.: Pružnost a pevnost. 1. vyd. Praha: ČVUT, 1996.

Související články

• Bernoulli-Navierova hypotéza
• Tlak
• Tah (pružnost)

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Wikislovník
• https://web.archive.org/web/20150426184511/http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/Structures.d/