Homogenní polynom

Homogenní polynom, případně homogenní mnohočlen, je označení takového mnohočlenu, který má v každém ze svých členů stejný součet mocnin u proměnných, každý ze členů je tedy stejného stupně. Tedy například mnohočlen $x^3+2x{y}^2+3y^3$ je homogenní (všechny členy jsou stupně 3), naopak mnohočlen $x^2+x^2{y}^2+y^2$ homogenní není (krajní členy jsou stupně 2, zatímco prostřední je stupně 4).

Homogenizace polynomu

Každý mnohočlen lze homogenizovat přidáním jedné nové proměnné a dosazením náhradou stávajících výraznem s jinou proměnnou a to následujícím způsobem: Je-li dán mnohočlen $p(x_1,\dots ,x_n)$ s maximálním stupněm členů rovným $d$, pak k němu vytvoříme homogenizovaný polynom přidáním proměnné $x_0$:

$p_H(x_0,x_1,\dots ,x_n)=x_0^d\cdot p(\frac{x_1}{x_0},\frac{x_2}{x_0},\dots ,\frac{x_n}{x_0})$

Dosazením $x_0=1$ lze naopak z homogenizovaného mnohočlenu získat mnohočlen původní.

Příklad

Pro mnohočlen $p(x,y)=x^2+x^2{y}^2+y^2$ získáme homogenizovaný mnohočlen dosazením $\frac{x_h}{z_h}\to x,\frac{y_h}{z_h}\to y$ a vynásobením $z_h^4$. Pak platí $p_H(x_h,y_h,z_h)=z_h^4\cdot p(\frac{x_h}{z_h},\frac{y_h}{z_h})=x_h^2{z}_h^2+x_h^2{y}_h^2+y_h^2{z}_h^2$. Dosazením $z_h=1$ získáváme původní $x^2+x^2{y}^2+y^2$. Homogenizace mnohočlenu tedy v podstatě spočívá v tom, že se každý člen vynásobí takovou mocninou nově přidaného argumentu, aby se souhrnný stupeň každého členu rovnal souhrnnému stupni toho z členů, který ho má nejvyšší. Šablona:Autoritní data