Sinc

Šablona:Barva a Šablona:Barva funkce sinc na intervalu x = −6π až 6π.

Funkce Sinc (plným latinským jménem Šablona:Cizojazyčně) je upravená matematická funkce sinus (sinus vydělený svým argumentem), která se používá především v elektrotechnice při analýze signálů. Funkce sinc je Fourierovou transformací obdélníkové funkce. Funkce je důležitá nejen v matematice, například při určování některých typů limit, ale kvůli svým vlastnostem hraje důležitou roli v elektronice, především pro analogové a digitální zpracování signálu.

Funkci sinc zavedl v roce 1952 Phillip M. Woodward v článku Šablona:Cizojazyčně („Teorie informace a inverzní pravděpodobnost v telekomunikacích“), ve kterém uvedl, že tato funkce se tak často používá při Fourierově analýze, že si zaslouží vlastní jméno.

Definice

Obvyklá definice funkce sinc v matematice pro $x\in ℝ$ je:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin (x)}{x}& \text{pro}x\ne 0\\ 1& \text{pro}x=0\end{array}$

Její hodnota v nule je dodefinována limitou

$\underset{x⟶0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$

a funkce je i zde spojitá.

Funkce $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)$ nabývá maxima v bodě 0 a to hodnoty 1, která je dopočítána jako limita funkce v bodě 0. Minimum má v bodě $\pm \frac{2,86060..}{2}\pi$. V nekonečnu a celočíselných násobcích $\pi$ je její hodnota 0.

Normalizovaná funkce sinc

Při digitálním zpracování signálu a v teorii informace se používá normalizovaná funkce sinc definovaná vztahem:

$\mathrm{sinc}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}& \text{pro}x\ne 0\\ \\ 1,& \text{pro}x=0\end{array}$

Hodnota normalizované funkce sinc je nulová ve všech celých číslech kromě nuly.

Vlastnosti

Normalizovanou funkci sinc lze vyjádřit pomocí funkce gamma jako součin:

$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+x)\mathrm{\Gamma }(1-x)}$

Taylorův rozvoj lze snadno vyjádřit použitím Taylorova rozvoje pro funkci sinus:

$\frac{\sin (x)}{x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}\mp \dots$

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat