Rekurzivní bayesovský odhad

Rekurzivní bayesovský odhad (též bayesovský filtr) je v informatice označení pro obecný pravděpodobnostní rekurzivní přístup v čase k odhadu neznámé funkce míry pravděpodobnosti využívající měření příchozích dat a matematického modelování tohoto procesu.

V robotice

Bayesovský filtr je algoritmus využívaný v informatice pro výpočet možností na základě pravděpodobnosti, které dovolují robotu odvodit jeho polohu a orientaci. V podstatě umožňuje bayesovský filtr robotům neustále aktualizovat jejich nejpravděpodobnější pozici v systému souřadnic na základě nejaktuálnějších dat získaných ze senzorů. Je to rekurzivní algoritmus a sestává ze dvou částí: předpovědi a aktualizace. Pokud jsou hodnoty proměnných lineární a normálně rozděleny, je bayesovský filtr shodný s Kalmanovým filtrem.

Zjednodušeně řečeno, robot pohybující se po celé ploše (mřížce) může mít několik různých senzorů, které mu poskytují informace o jeho okolí. Robot tedy může začít s jistotou, že je na pozici (0, 0). Avšak se zvětšující se vzdáleností od jeho výchozí pozice má robot stále menší jistotu ohledně jeho polohy. Za pomoci bayesovského filtru se může robot rozhodnout o jeho pravděpodobné aktuální poloze a tato pravděpodobná pozice může být neustále aktualizována na základě dodatečných dat ze senzorů.

Model

Jako skutečný stav $x$ se předpokládá nepozorovaný Markovův proces, měřením $z$ jsou pozorovány stavy skrytého Markovova modelu (HMM). Následující obrázek znázorňuje bayesovskou síť skládající se z HMM.

Hidden Markov Model

Vzhledem k Markovovu předpokladu, je pravděpodobnost aktuálního skutečného stavu dána pouze bezprostředně předcházejícím stavem a není závislá na ostatních předešlých stavech.

$p({\mathbf{\text{x}}}_k|{\mathbf{\text{x}}}_{k-1},{\mathbf{\text{x}}}_{k-2},\dots ,{\mathbf{\text{x}}}_0)=p({\mathbf{\text{x}}}_k|{\mathbf{\text{x}}}_{k-1})$

Obdobně, měření v k-tém čase je závislé pouze na současném stavu a nikoli na ostatních předešlých stavech vzhledem k tomu současnému.

$p({\mathbf{\text{z}}}_k|{\mathbf{\text{x}}}_k,{\mathbf{\text{x}}}_{k-1},\dots ,{\mathbf{\text{x}}}_0)=p({\mathbf{\text{z}}}_k|{\mathbf{\text{x}}}_k)$

Pomocí těchto předpokladů lze rozdělení pravděpodobnosti pro všechny stavy zapsat jednoduše jako:

$p({\mathbf{\text{x}}}_0,\dots ,{\mathbf{\text{x}}}_k,{\mathbf{\text{z}}}_1,\dots ,{\mathbf{\text{z}}}_k)=p({\mathbf{\text{x}}}_0)\prod _{i=1}^{k}p({\mathbf{\text{z}}}_i|{\mathbf{\text{x}}}_i)p({\mathbf{\text{x}}}_i|{\mathbf{\text{x}}}_{i-1}).$

Avšak při využití Kalmanova filtru k odhadu stavu x je rozložení pravděpodobnosti zájmu spojeno s aktuálními stavy, které jsou podmíněny měřeními v aktuálním čase (toho je dosaženo odsunutím předchozích stavů a vydělením pravděpodobnosti počtem měření).

Toto vede k předpovědi a změně kroků v Kalmanově filtru pravděpodobnostním zápisem. Rozdělení pravděpodobnosti spojené s předpokládaným stavem je součet (integrál) součinů rozdělení pravděpodobnosti spojené s přechodem z (k - 1)-tého stavu do k-tého a rozdělení pravděpodobnosti spojené s předchozím stavem pro všechna možná $x_{k_{-}1}$.

$p({\mathbf{\text{x}}}_k|{\mathbf{\text{z}}}_{k-1})=\int p({\mathbf{\text{x}}}_k|{\mathbf{\text{x}}}_{k-1})p({\mathbf{\text{x}}}_{k-1}|{\mathbf{\text{z}}}_{k-1})d{\mathbf{\text{x}}}_{k-1}$

Změna rozložení pravděpodobnosti je úměrná součinu měření pravděpodobnosti a předpovídaného stavu.

$p({\mathbf{\text{x}}}_k|{\mathbf{\text{z}}}_k)=\frac{p({\mathbf{\text{z}}}_k|{\mathbf{\text{x}}}_k)p({\mathbf{\text{x}}}_k|{\mathbf{\text{z}}}_{k-1})}{p({\mathbf{\text{z}}}_k|{\mathbf{\text{z}}}_{k-1})}=\alpha p({\mathbf{\text{z}}}_k|{\mathbf{\text{x}}}_k)p({\mathbf{\text{x}}}_k|{\mathbf{\text{z}}}_{k-1})$

Jmenovatel

$p({\mathbf{\text{z}}}_k|{\mathbf{\text{z}}}_{k-1})=\int p({\mathbf{\text{z}}}_k|{\mathbf{\text{x}}}_k)p({\mathbf{\text{x}}}_k|{\mathbf{\text{z}}}_{k-1})d{\mathbf{\text{x}}}_k$

je konstantně relativní k $x$, takže ho vždy můžeme nahradit koeficientem $\alpha$, který může být obvykle v praxi ignorován. Čitatele je pak možné vypočítat a jednoduše normalizovat, jelikož jeho nedílnou součástí musí být jednotka.

Aplikace

• Kalmanův filtr využívá rekurzivní bayesovský filtr pro multivariační normální rozdělení
• Particle filter na základě sekvenční techniky Monte Carlo metody (SMC), která modeluje PDF za pomoci sady diskrétních bodů
• Grid-based odhady, které rozdělí PDF do diskrétní mřížky

Sekvenční bayesovské filtrování

Sekvenční bayesovské filtrování je rozšíření bayesovského odhadu v případě, kdy se pozorované hodnoty s časem mění. Je to způsob, jak odhadnout reálnou hodnotu pozorované proměnné, která se vyvíjí v čase.

Metoda se nazývá:

filtrování

když odhadujeme aktuální hodnotu danou předchozími měřeními,

vyhlazování

při odhadování minulých hodnot daných současnými a minulými měřeními,

předpovídání

při odhadu pravděpodobné budoucí hodnoty.

Pojem sekvenční bayesovské filtrování je velmi využíván v řízení a robotice.

Externí odkazy

• Šablona:Cite journal
• Šablona:Cite web
• Feynman-Kac models and interacting particle algorithms (a.k.a. Particle Filtering) Theoretical aspects and a list of application domains of particle filters