Sedmiúhelníkové číslo

Sedmiúhelníková čísla jsou figurální čísla odpovídající sedmiúhelníku. Nté sedmiúhelníkové číslo je počet stejně velkých „bodů“, ze kterých lze sestavit pravidelný sedmiúhelník, jehož strana má délku n.

Prvních pět sedmiúhelníkových čísel

Vzorec pro nté sedmiúhelníkové číslo je:

$\frac{5n^2-3n}{2}$.

Několik prvních sedmiúhelníkových čísel:

1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, … (Šablona:OEIS).

Vlastnosti

V posloupnosti 7úhelníkových čísel se sudá a lichá čísla opakují vždy podle vzoru ...liché, liché, sudé, sudé...

5 sedmiúhelníkových čísel je o 1 menší než trojúhelníkové číslo a 55 je zároveň trojúhelníkové a čtvercové pyramidové číslo.

Součet převrácených hodnot

Součet převrácených hodnot všech sedmiúhelníkových čísel je takovýto:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{n(5n-3)}=\frac{1}{15}\pi \sqrt{25-10\sqrt{5}}+\frac{2}{3}\ln (5)+\frac{1+\sqrt{5}}{3}\ln \left(\frac{1}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)+\frac{1-\sqrt{5}}{3}\ln \left(\frac{1}{2}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)$.