Dělitel nuly

Dělitel nuly je pojem z oboru abstraktní algebry. Jako levý dělitel nuly se označuje takový nenulový prvek a okruhu R, ke kterému v R existuje nenulový prvek b takový, že platí ab = 0. Podobně je pravý dělitel nuly takový nenulový prvek a, ke kterému existuje v daném okruhu nějaký nenulový prvek c takový, že platí ca = 0. Prvek, který je i levým i pravým dělitelem nuly, se nazývá zkrátka dělitel nuly.

Pokud se jedná o komutativní okruh, pak nemá smysl rozlišovat, neboť je každý levý dělitel zároveň i pravý a naopak. Komutativní okruh bez dělitelů nuly se nazývá obor integrity.

Příklad

• V maticovém okruhu čtvercových matic řádu 2 nad celými čísly je příkladem dělitele nuly matice

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$

neboť platí například

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$

Vlastnosti

• Dělitelé nuly nemohou být jednotkami. Je-li a invertibilní a ab = 0, pak 0 = a⁻¹0 = a⁻¹ab = b, což je spor.