Koeficient šikmosti

Příklad asymetrického rozdělení s kladnou šikmostí.

Koeficient šikmosti je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem ${\gamma }_1$.

Definice

Koeficient šikmosti je definován jako

${\gamma }_1=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}=\frac{\mathrm{E}[X-\mathrm{E}(X){]}^3}{(\mathrm{var}X{)}^{3/2}}$,

kde ${\mu }_3$ je třetí centrální moment, $\sigma$ je směrodatná odchylka, $\mathrm{E}(X)$ je střední hodnota a $\mathrm{var}X$ je rozptyl.

Vlastnosti

Nulová šikmost značí, že hodnoty náhodné veličiny jsou rovnoměrně rozděleny vlevo a vpravo od střední hodnoty. Kladná šikmost značí, že vpravo od průměru se vyskytují odlehlejší hodnoty nežli vlevo (rozdělení má tzv. pravý ocas) a většina hodnot se nachází blízko vlevo od průměru. U záporné šikmosti je tomu naopak.

Symetrická rozdělení včetně normálního rozdělení mají šikmost nula.

Pro rozdělení s kladnou šikmostí obvykle platí, že jeho modus je menší nežli medián a ten je menší nežli střední hodnota. Pro zápornou šikmost opět naopak.

Výběrový koeficient šikmosti

Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem

$g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}}=\sqrt{n}\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^3}{{(\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2)}^{\frac{3}{2}}}$,

kde $\bar{x}$ je výběrový průměr, $m_2$ je výběrový rozptyl a $m_3$ je třetí výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:

$\begin{array}{cc}{G}_1=\frac{M_3}{M_2^{3/2}}& =\frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}{g}_1\\ b_1=\frac{m_3}{M_2^{3/2}}& ={\left(\frac{n-1}{n}\right)}^{3/2}{g}_1\end{array}$

Pro rozptyly těchto odhadů platí $\mathrm{var}{b}_1<\mathrm{var}{g}_1<\mathrm{var}{G}_1$.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat