L'Hospitalovo pravidlo

L'Hospitalovo pravidlo umožňuje za určitých předpokladů vypočítat limitu ve vlastním či nevlastním bodě podílu dvou reálných funkcí reálné proměnné v případě, že výpočet limity podílu vede na neurčitý výraz. Říká, že limita podílu dvou funkcí, které splňují jisté předpoklady, je rovna limitě podílu derivací těchto funkcí:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.

Pravidlo bylo poprvé publikováno matematikem Guillaumem de l'Hôpitalem v jeho knize Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, avšak objevitelem je pravděpodobně Johann Bernoulli, z jehož přednášek L'Hospital svou knihu sestavoval.

Předpoklady platnosti

Nenulovost funkcí ve jmenovateli

Funkce $g$ a $g^{\prime }$ musí být nenulové na nějakém okolí čísla $a$ (jinak tvrzení nemá smysl z důvodu dělení nulou), pokud např. $a=+\mathrm{\infty }$, pak jeho okolím jsou množiny, které obsahují interval $(r,+\mathrm{\infty })$ pro nějaké $r$, takže například funkce $g(x)=\sin x$ předpoklad nesplňuje.

Typ limity na levé straně

Musí platit právě jedna z uvedených podmínek:

• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$

• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ a $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty }$.

Jinak řečeno, musí být buď obě limity nulové, nebo limita ve jmenovateli nevlastní. Tyto případy jsou nazývány limita typu $\frac{0}{0}$ resp. $\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$. Příkladem jsou funkce $f(x)=x+2$ a $g(x)=x+1$, které tento předpoklad nesplňují. Limita jejich podílu v nule je rovna dvěma, ačkoli dle L'Hospitalova pravidla by vyšla jedna.

Existence limity na pravé straně

Musí existovat vlastní nebo nevlastní limita $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$. Tento předpoklad je podstatný jen pro to, abychom z neexistence limity podílu derivací nevyvozovali neexistenci limity podílu původních funkcí. Příkladem jsou funkce $f(x)=x^2\sin \frac{1}{x^2}$ a $g(x)=x$ pro $x\to 0$. Pro ně platí $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=2x\sin \frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos \frac{1}{x^2}$, první člen jde k nule, ale druhý v blízkosti nuly osciluje mezi funkcí $\frac{2}{x}$ a $-\frac{2}{x}$. Proto neexistuje limita podílu derivací, ale původní limita je rovna nule, což plyne z toho, že pro každé $x$ leží $\frac{f(x)}{g(x)}$ v intervalu $⟨-|x|,|x|⟩$.

Příklad

Graf funkce k příkladu.

Určeme limitu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2-3}{x^5-6}$, tj. $f(x)=x^2-3$ a $g(x)=x^5-6$.

Všechny předpoklady kromě posledního jsou splněny. Poslední není na první pohled zřejmý, je nutno ověřit existenci limity podílu prvních derivací uvedených funkcí $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x}{5x^4}$. Ověření provedeme opakovanou aplikací L'Hospitalova pravidla na limitu podílu prvních derivací uvedených funkcí , tj. limita podílu druhých derivací uvedených funkcí je pak $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{20x^3}=0$. Z toho plyne, že jsou splněny předpoklady opakované aplikace L'Hospitalova pravidla, proto platí $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x}{5x^4}=0$. Teprve z toho plyne, že můžeme L'Hospitalovo pravidlo použít i na náš původní příklad a platí $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2-3}{x^5-6}=0$.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Limita funkce
• Okolí (matematika)

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• L'Hospitalovo pravidlo