Projektivní prostor

Projektivní prostor je geometrická a algebraická struktura.

Abstraktně se pro vektorový prostor $V$ nad komutativním tělesem $F$ definuje projektivní prostor $\mathbb{P}(V)$ jako množina všech jeho (neorientovaných) směrů (tj. jednorozměrných vektorových podprostorů):

$\mathbb{P}(V):=\{Fv|v\in V\mathrm{\setminus }\{0\}\}$

resp. ekvivalentně jako množina tříd ekvivalence na množině nenulových vektorů $V\mathrm{\setminus }\{0\}$, pokud relaci ekvivalence definujeme jako (lineární závislost vektorů):

$v\simeq w\iff v=aw$

pro nějaké $a\in F$.

Projektivní prostor $n$-rozměrného vektorového prostoru nad tělesem $F$ se také někdy značí ${𝔽\mathbb{P}}^{n-1}$ a jeho dimenze se definuje jako $n-1$

Příklady

Speciálním případem projektivního prostoru je reálná projektivní rovina ${ℝ\mathbb{P}}^2$, kterou dostaneme volbou $V={ℝ}^3$.

Jednorozměrný komplexní projektivní prostor (komplexní projektivní přímka) ${ℂ\mathbb{P}}^1$ je difeomorfní dvourozměrné sféře. Jedná se dokonce o holomorfní varietu.

Fanova rovina je nejmenší projektivní rovina skládající se ze 7 bodů a 7 přímek, dostaneme ji jako ${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{P}}^2$, kde ${\mathbb{Z}}_2$ je dvouprvkové těleso.

Vlastnosti

Pro reálný resp. komplexní vektorový prostor $V$ konečné dimenze má projektivní prostor $\mathbb{P}(V)$ přirozenou strukturu hladké variety. Tato varieta je kompaktní.