Faktoralgebra

Koncept faktoralgebry je vyrobit z nosné množiny původní algebry hrubší objekt se stejnou strukturou. Formálně faktoralgebru tvoří vhodná ekvivalence $\sim$ na nosné množině algebry $A$, nosná množina faktoralgebry se pak bude skládat z bloků ekvivalence $A/\sim$.

Faktoralgebry odpovídají homomorfním obrazům algeber a jsou zobecněním faktorgrupy a faktorokruhu.

Definice

Nechť je $A=(A,F)$ algebra. Ekvivalence $\sim$ na $A$ se nazývá kongruence algebry pokud:

• Pro každou operaci $F_A$ a $a_1\sim b_1,...,a_{ar(F_A)}\sim b_{ar(F_A)}$ platí $F_A(a_1,...,a_{ar(F_A)})\sim F_A(b_1,...,b_{ar(F_A)})$

Operace faktoralgebry $B=(A/\sim ,G)$ pak definujeme na blocích ekvivalence takto:

• Pro každé $F_A$ a $a_1,...,a_{ar(F_A)}\in A$ je $G_A([a_1],...,[a_{ar(F_A)}])\sim [F_A(a_1,...,a_{ar(F_A)})]$

Jinak řečeno, prvky bloku ekvivalence jsou z hlediska operací zaměnitelné. Proto si také můžeme z každého bloku zvolit reprezentanta, tím dostaneme množinu reprezentantů, která je izomorfní nosné množině faktoralgebry.

Vlastnosti

• Faktoralgebra má stejnou signaturu jako původní algebra.
• Kongruence algebry je ekvivalence respektující strukturu algebry.
• Každá algebra ma alespoň dvě nevlastní faktoralgebry definovány kongruencemi:
  • $id=\{(a,a):a\in A\}$
  • $A\times A=\{(a,b):a\in A\wedge b\in A\}$

Tedy ekvivalencí rovnosti a ekvivalencí všech prvků algebry.

Příklady

Uvažujme relaci $x\sim y\iff x+y\mid 2$ v grupě celých čísel $(\mathbb{Z},+,-,0)$. Ta má zřejmě dva bloky ekvivalence a to sudá a lichá čísla. Nyní je třeba ověřit, že její operace splňují definici faktorgupy. Tedy že:

• pro operaci sčítání $(+)$: $\mathrm{\forall }{a}_1\sim b_1,a_2\sim b_2$ platí $a_1+a_2\sim b_1+b_2$
• pro operaci inverze $(-)$: $\mathrm{\forall }a\sim b$ platí $-a\sim -b$
• konstantni prvek (operace arity 0) se zobrazí na konstantní prvek $0\sim 0$ (je splněno vždy).

Což jde jednoduše ověřit. Například pro operaci sčítání máme čtyři možnosti $a_1\sim b_1$ je buď sudé, nebo liché a stejně tak $a_2\sim b_2$.

Nosnou množinu faktorgrupy reprezentovat například jako $\{0,1\}$, neboť $0$ je reprezentantem sudých čísel a $1$ je reprezentantem čísel lichých.

Mějme grupu permutací na $n$ prvcích $S_n$ a relaci ekvivalence $\pi \sim \sigma \iff sgn(\pi )=sgn(\sigma )$. Tedy dvě permutace jsou ekvivalentní, pokud mají stejné znaménko. Pak faktoralgebra bude izomorfní s faktoralgebrou v předchozím případě. (Stačí si uvědomit, že inverzní permutace má stejné znaménko, složení permutací má znaménko $sgn(\pi )*sng(\sigma )$ a nulovým prvkem, je identita.)

Věta o izomorfismu

Je-li $\phi :A\to B$ homomorfismus algeber, pak platí $A/ker(\phi )\simeq Im(\phi )$.

Tedy algebra určená rozkladem nosné množiny algebry $A$ podle jádra homomorfismu $ker(\phi )$ je isomorfní s obrazem homomorfismu $Im(\phi )$.

Myšlenka důkazu:

• Je li $\phi$ homomorfismus $A\to B$ pak jádro zobrazení $ker(\phi )$ je kongruence algebry $A$.
• Je li $\phi$ homomorfismus $A\to B$ a $\sim$ kongruence na $A$ taková, že $a\sim b\Rightarrow \phi (a)=\phi (b)$, pak je zobrazení $\psi :A/\sim \to B,[a]\to \phi (a)$ je homomorfismus.
• Pak $A/\ker (\phi )\to Im(\psi )=Im(\phi )$ je prostý a na a je tedy izomorfismem.

Každá kongruence na algebře $\sim$ je tedy jádrem vhodného homomorfismu, ten můžeme sestrojit jako zobrazení z $\phi :a\to [a{]}_{\sim }$, tedy $A\to A/\sim \simeq B$.

Naopak každé jádro homomorfismu $ker(\phi )$ je kongruence $a\sim b\iff \phi (a)=\phi (b)$.

Dále pak každá faktoralgebra odpovídá obrazu homomorfismu, tedy $A/\sim \simeq Im(\phi )$ pro $\phi :A\to B\simeq A/\sim$.

A naopak projekce $\psi :A\to A/\sim$ je homomorfismem pro kongruenci na algebře $\sim$.

Příklad

V předchozím případě bychom mohli zvolit homomorfismus zobrazující sudá čísla na prvek $0$ a lichá čísla na prvek $1$, příslušné operace by byly zadefinovány takto:

• Operace $(+)$

+	0	1
0	0	1
1	1	0

• Operace $(-)$

-0 = 0, -1 = 1

• Operace $0$

Konstanta 0 se zobrazí na 0.

Pak jádro homomorfismu bude relace ekvivalence rozdělená na blok sudých a blok lichých čísel a faktoralgebra podle jádra zobrazení bude izomorfní s algebrou určenou obrazem homomorfismu.

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Kongruence
• Faktorgrupa
• Faktorokruh
• Varieta algeber