Multirozklad

Jako multirozklad (Šablona:Cizojazyčně, MRA) se označuje rozklad signálu $f(t)\in L^2(ℝ)$ do systému hierarchicky uspořádaných podprostorů ${𝐕}_{𝐦}$.

Celý prostor spojitých funkcí $L^2(ℝ)$ lze rozložit do vnořených podprostorů

$\{0\}\dots \subset {𝐕}_{\mathrm{𝟐}}\subset {𝐕}_{\mathrm{𝟏}}\subset {𝐕}_{\mathrm{𝟎}}\subset {𝐕}_{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}\subset {𝐕}_{\mathbf{-}\mathrm{𝟐}}\subset \dots L^2(ℝ)$.

V souvislosti s vlnkovou transformací tvoří systém $\{{\varphi }_{j,n}{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ bázi prostoru ${𝐕}_{𝐣}$. Podstatná je existence ortogonálního doplňku

${𝐕}_{𝐣\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}={𝐕}_{𝐣}\oplus {𝐖}_{𝐣}$.

Zde systém $\{{\psi }_{j,n}{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ tvoří bázi prostoru ${𝐖}_{𝐣}$. Z výše uvedených vztahů vyplývá, že $\{{\psi }_{j,n}{\}}_{j,n\in {\mathbb{Z}}^2}$ je báze prostoru $L^2(ℝ)$ a tedy

$L^2(ℝ)=\underset{j=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\oplus }}{𝐖}_{𝐣}$.

Pro lepší představu lze hierarchii popsat následovně.

$L^2(ℝ)=\underset{{𝐕}_{\mathrm{𝟎}}}{\underbrace{\underset{{𝐕}_{\mathrm{𝟏}}}{\underbrace{\dots \oplus {𝐖}_{\mathrm{𝟐}}}}\oplus {𝐖}_{\mathrm{𝟏}}}}\oplus {𝐖}_{\mathrm{𝟎}}\oplus {𝐖}_{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}\oplus {𝐖}_{\mathbf{-}\mathrm{𝟐}}\oplus \dots$

Multirozklad vyžaduje platnosti tzv. dilatačních rovnic

$\begin{array}{c}\varphi (t)=\sqrt{2}\sum _{n}h(n)\varphi (2t-n)\\ \psi (t)=\sqrt{2}\sum _{n}g(n)\varphi (2t-n)\end{array}$.

S jeho pomocí lze také vyjádřit vlnkové řady a diskrétní vlnkovou transformaci podle Mallatova schématu.

Literatura

• Šablona:Citace monografie