Eisensteinovo číslo

Trojúhelníková mříž Eisensteinových celých čísel v komplexní rovině

V matematice se jako Eisensteinova čísla, pojmenovaná po Ferdinandu Eisensteinovi, označují komplexní čísla tvaru

$z=a+b\omega$

kde a a b jsou celá čísla a

$\omega =\frac{1}{2}(-1+i\sqrt{3})=e^{2\pi i/3}$

je (komplexní) třetí odmocnina z jedné. Podobně jako Gaussova čísla tvoří čtvercovou mříž, tvoří Eisensteinova čísla trojúhelníkovou mříž. Jedná se o okruh celistvých čísel číselného tělesa $\mathbb{Q}\left(\mathrm{i}\sqrt{3}\right)$.

Dělitelnost

Na Eisensteinových číslech lze zavést dělitelnost stejně jako na celých číslech: $x$ dělí $y$ právě tehdy, existuje-li Eisensteinovo číslo $z$ splňující $y=zx$. To umožňuje převést z celých čísel i koncept prvočíselnosti, a mluvit o Eisensteinových prvočíslech. Mezi Eisensteinovými čísly je celkem šest jednotek {±1, ±ω, ±ω²}, za Eisensteinova prvočíslo je tedy považováno každé takové Eisensteinovo číslo $z$, které lze dělit pouze jednotkami a prvky $uz$, kde $u$ je nějaká z jednotek.

Eisensteinova čísla tvoří komutativní okruh. Ten je dokonce eukleidovský, za eukleidovskou funkci je možno zvolit

$N(a+b\omega )=a^2-ab+b^2.$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat