Cantorova–Heineova věta

Šablona:Upravit Šablona:Možná hledáte V matematice Cantorova–Heineova věta, pojmenována po Georgu Cantorovi a Eduardovi Heineovi, říká, že pokud M je kompaktní metrický prostor, potom každá spojitá funkce

f : M → N,

kde N je metrický prostor, je stejnoměrně spojitá.

Například, pokud f : [a,b] → R je spojitá funkce, pak je taktéž stejnoměrně spojitá.

Důkaz

Předpokládejme, že f je spojitá na kompaktním metrickém prostoru M, avšak není stejnoměrně spojitá. Potom negace výroku

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0$ takové, že $d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\epsilon$ pro každé x, y z M

je:

$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0$ takové, že $\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }x,y\in M$ tak, že $d(x,y)<\delta$ a $\rho (f(x),f(y))\ge {\epsilon }_0$.

kde d a $\rho$ jsou metriky metrických prostorů M, respektive N.

Zvolme dvě posloupnosti x_n a y_n takové, že

$d(x_n,y_n)<\frac{1}{n}$ a $\rho (f(x_n),f(y_n))\ge {\epsilon }_0$.

Protože M je kompaktní, pak z nich lze vybrat konvergentní podposloupnosti ($x_{n_k}$ konvergující k x₀ a $y_{n_k}$ k y₀), takové, že

$d(x_{n_k},y_{n_k})<\frac{1}{n_k}\Rightarrow \rho (f(x_{n_k}),f(y_{n_k}))\ge {\epsilon }_0$

ale protože f je spojitá a $x_{n_k}$ a $y_{n_k}$ konvergují ke stejnému bodu, je poslední důsledek nemožný. Proto musí být nepravdivý předpoklad nestejnoměrnosté spojitosti.

Související články

• Georg Cantor
• Eduard Heine