Heineho věta

Heineho věta je jedno z úvodních tvrzení matematické analýzy, která dává do souvislosti limitu funkce a limitu posloupnosti. Jednoduše řečeno říká, že funkce je spojitá právě když zachovává limity. Nese jméno německého matematika Eduarda Heineho (1821–1881).

Tvrzení

Nechť $X$ a $Y$ jsou metrické prostory (např. reálná čísla ${ℝ}^n$, komplexní čísla ${ℂ}^n$, …), a nechť $f:X\to Y$ je zobrazení mezi nimi. Pak $l\in Y$ je limita $f$ v bodě $x_0\in X$ neboli

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$

právě když pro každou posloupnost $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ takovou, že $x_n\to x_0$ a zároveň $x_n\ne x_0$, platí $f(x_n)\to l$.

Ekvivalentně lze také formulovat tzv. Heineho větu o spojitosti:

Nechť $f:X\to Y$ je zobrazení mezi metrickými prostory $X$ a $Y$. Pak $f$ je spojitá v bodě $x_0\in X$ právě když pro každou posloupnost $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ takovou, že $x_n\to x_0$, platí $f(x_n)\to f(x_0)$.

Související články

• Limita
• Funkce
• Posloupnost
• Spojitá funkce

Literatura

• V. Jarník: Diferenciální počet I, Academia 1984