Norma (matematika)

Norma je pozitivně homogenní, subaditivní a pozitivně definitní funkce, která každému nenulovému vektoru z nějakého vektorového prostoru přiřazuje reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. Podobná je seminorma, u které se však nepožaduje pozitivní definitnost, takže se připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.

Definice

Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je

• pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro a ∈ F a v ∈ V;
• subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, v ∈ V.

Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna v ∈ V.

Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:

• p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.

Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.

Příklady

• Každá norma je seminorma.
• Absolutní hodnota je norma na reálných číslech.
• Každá lineární forma f na vektorovém prostoru definuje seminormu x → |f(x)|.

Eukleidovská norma

Na prostoru ${ℝ}^n$ lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x₁, x₂, ..., x_n) jako

$\Vert 𝐱\Vert :=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}.$

Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).

p-norma

Nechť p ≥ 1 je reálné číslo.

$\Vert \mathbf{\text{x}}{\Vert }_p:={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}.$

Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).

Maximová norma

$\Vert \mathbf{\text{x}}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\max (|x_1|,\dots ,|x_n|).$

Norma na prostoru se skalárním součinem

Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu

$\Vert x\Vert :=\sqrt{(x,x)}.$

Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost

$|(x,y)|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert .$

Vlastnosti

Ilustrace jednotkových kružnic v různých normách.

Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).

Normy ||•||_α and ||•||_β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že

$C\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le \Vert x{\Vert }_{\beta }\le D\Vert x{\Vert }_{\alpha }$

pro všechna x ∈ V. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||₁, ||•||₂ a ||•||_∞ jsou ekvivalentní na prostoru ${ℝ}^n$:

$\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1\le \sqrt{n}\Vert x{\Vert }_2,$

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert x{\Vert }_2\le \sqrt{n}\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }},$

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert x{\Vert }_1\le n\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$

Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.

Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny

Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.

Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μ_C známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná

${\mu }_C(x):=\inf \{\alpha :\alpha >0,x\in \alpha C\}.$

Pro tuto seminormu platí

$\{x:{\mu }_C(x)<1\}\subseteq C\subseteq \{x:{\mu }_C(x)\le 1\}.$

Související články

• normovaný lineární prostor
• metrický prostor
• Eukleidovský prostor
• determinant

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat