Faktorová grupa

Faktorová grupa neboli faktorgrupa nebo podílová grupa případně pod vlivem angličtiny kvocientní grupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.

Definice

Rozklady podle podgrupy

• Levým rozkladem grupy $G$ podle podgrupy $H$ je množina

$\{aH:a\in G\}$

kde množiny $aH=\{a\cdot h:h\in H\}$ se nazývají levé třídy rozkladu.

• Pravým rozkladem grupy $G$ podle podgrupy $H$ je množina

$\{Ha:a\in G\}$

kde množiny $Ha=\{h\cdot a:h\in H\}$ pravé třídy rozkladu.

Normální podgrupa

Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální, značíme $H◃G$, pokud pro všechny $a\in G$ platí $aH=Ha$.

Příklad

• Každá podgrupa abelovské grupy je normální.

Faktorgrupa

Jestliže $H$ je normální podgrupa grupy $G$ (symbolicky: $H◃G$), můžeme na množině levých rozkladových tříd zavést grupovou operaci

$aH\cdot bH=(a\cdot b)H$.

Pak množina levých rozkladových tříd s touto operací tvoří opět grupu, která se nazývá faktorová grupa $G$ podle normální podgrupy $H$ a značí se $G/H$.

Příklady

• Je-li $G$ libovolná grupa s násobením, pak $G$ a $\{1\}$ jsou její normální podgrupy. Pro příslušné faktorové grupy platí $G/G\cong 1$ a $G/1\cong G$.
• Množina $n\mathbb{Z}$ všech násobků čísla $n$ je normální podgrupou aditivní grupy $\mathbb{Z}$, faktorová grupa $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ je isomorfní s grupou ${\mathbb{Z}}_n$.

Hlavní věty o faktorových grupách

Nechť $f:G\to H$ je homomorfizmus grup. Pak jádro Ker(f) je normální podgrupa G a $x\mapsto xKer(f)$ definuje izomorfizmus grup

$Im(f)\simeq G/Ker(f).$

Nechť $N◃G$. Pak ke každému homomorfismu $\phi :G\to L$ grup, pro který $N\subseteq Ker\phi$, existuje jediný homomorfismus ${\phi }^{\prime }:G/N\to L$ takový, že $\phi ={\phi }^{\prime }\circ p$ (kde $p$ je projekce $G$ na $G/N$).

Nechť N a H jsou normální podgrupy G a N je podgrupa H. Pak N je normální podgrupa H, H/N je normální podgrupa G/N a platí

$G/H\simeq (G/N)/(H/N).$

Související články

• Faktoralgebra
• Faktorokruh
• Normální podgrupa

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie