Floydův–Warshallův algoritmus

Floydův–Warshallův algoritmus (známý také jako Royův–Floydův algoritmus) je počítačový algoritmus používaný pro nalezení nejkratších cest v orientovaném grafu s hranami obecných vah. Jediný průchod algoritmu spočte nejkratší cestu mezi všemi dvojicemi vrcholů. Floydův–Warshallův algoritmus je typickým příkladem dynamického programování. Algoritmus poprvé popsali Robert Floyd a Stephen Warshall.

Algoritmus

Šablona:Upravit část Floydův–Warshallův algoritmus porovnává všechny možné cesty v grafu mezi všemi dvojicemi vrcholů. Pracuje tak, že postupně vylepšuje odhad na nejkratší cestu do té doby, než projde všechny možnosti.

Mějme graf $G$ s vrcholy $V$ očíslovanými 1 až N. Dále mějme funkci $nejkratsiCesta(i,j,k)$, která vrací nejkratší možnou cestu z $i$ do $j$ s použitím pouze vrcholů 1 až $k$ jako mezivrcholů. Pomocí této funkce chceme najít nejkratší cestu mezi všemi dvojicemi $i$ a $j$ s použitím mezivrcholů 1 až $k+1$.

Na nejkratší cestu máme dva kandidáty: buď je nejkratší cesta v množině vrcholů $(1...k)$, nebo existuje cesta jdoucí z $i$ do $k+1$, a poté z $k+1$ do $j$, která je lepší (kratší) než ta stávající. Nejlepší cesta z $i$ do $j$ používající pouze vrcholy 1 až $k$ je definována funkcí $nejkratsiCesta(i,j,k)$. Délka nejlepší cesty z $i$ do $k+1$ a poté do $j$ je pak zřejmě součet délek nejkratší cesty z $i$ do $k+1$ a nejkratší cesty z $k+1$ do $j$.

Funkci $nejkratsiCesta(i,j,k)$ pak můžeme rekurzivně definovat takto:

$nejkratsiCesta(i,j,k)=min(nejkratsiCesta(i,j,k-1),nejkratsiCesta(i,k,k-1)+nejkratsiCesta(k,j,k-1));$

$nejkratsiCesta(i,j,0)=cenaHrany(i,j);$

Algoritmus nejprve spočte $nejkratsiCesta(i,j,0)$ pro všechny dvojice i a j, poté pro všechny dvojice spočte $nejkratsiCesta(i,j,1)$ atp. dokud nedosáhne k = N, kdy jsme našli nejkratší cesty pro všechny dvojice vrcholů $i$ a $j$ v grafu $G$. Asymptotická časová složitost algoritmu je $O(N^3)$.

Při počítání k-té úrovně můžeme přepsat informace vytvořené (k – 1)-ní úrovní, což je optimalizace. Algoritmus v obou případech používá kvadratické množství paměti vůči počtu vrcholů grafu. Asymptotická paměťová složitost je tedy $O(N^2)$.

Pseudokód

 1 // Předpokládáme funkci cenaHrany(i, j) vracející cenu hrany z i do j
 2 // (pokud hrana neexistuje, cenaHrany = nekonečno)
 3 // Dále, N je počet vrcholů a cenaHrany(i, i) = 0 
 4 
 5 int cesta[][]; // Dvourozměrné pole. V každém kroku algoritmu je cesta[i][j] 
 6                // nejkratší cesta z i do j použitím 1. až k-té hrany.
 7                // Všechny hrany cesta[i][j] jsou inicializovány funkcí 
 8                // cenaHrany(i,j);            
 9
10 procedure FloydWarshall ()
11    for $𝑘:=1$ to $𝑁$
12    begin
13       foreach $\mathit{(}𝑖,𝑗\mathit{)}$ in $(1..N)$
14       begin
15          cesta[i][j] = min(cesta[i][j], cesta[i][k] + cesta[k][j]);
16       end
17    end
18 endproc

Implementace

• v Perlu je součástí modulu Graph
• v Pythonu je součástí balíku NetworkX

Odkazy

Související články

• Dijkstrův algoritmus
• Bellmanův-Fordův algoritmus
• Johnsonův algoritmus

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Interaktivní animace práce Floydova–Warshallova algoritmu