Minkowského prostor

Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4rozměrný reálný lineární vektorový prostor s pseudoskalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.

Složky vektoru

Vektor v Minkowského prostoru $𝐚=a^{\mu }{𝐞}_{\mu }$ má 4 souřadnice

$a^{\mu }=(a^0,a^1,a^2,a^3).$

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta $t$, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím $x,y,z$. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu $c=299792458\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá $c=1$. Vizte též přirozená soustava jednotek.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru ($𝐚=a^{\mu }{𝐞}_{\mu },𝐛=b^{\mu }{𝐞}_{\mu }$ ) je definován vztahem

$⟨𝐚,𝐛⟩\equiv a_{\mu }{b}^{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{a}^{\mu }{b}^{\nu }=-a_0{b}_0+a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3.$

Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.

Minkowského norma

Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.

$||𝐚|{|}^2=⟨𝐚,𝐚⟩=-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2$

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí $||𝐚|{|}^2=\pm 1$.

Báze

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory ${𝐞}_0,{𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$, pro které platí

$-||{𝐞}_0|{|}^2=||{𝐞}_1|{|}^2=||{𝐞}_2|{|}^2=||{𝐞}_3|{|}^2=1.$

Tuto podmínku lze stručně zapsat jako

$⟨{𝐞}_{\mu },{𝐞}_{\nu }⟩={\eta }_{\mu \nu },$

kde $\eta$ je diagonální matice

$\eta =\mathrm{diag}(-1,1,1,1)=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

Související články

• Vektorový prostor
• Čtyřvektor
• Lorentzova transformace

Externí odkazy

• Šablona:MathWorld