Bilineární forma

Bilineární forma je matematický pojem z oblasti lineární algebry. Je to zobrazení z kartézského součinu dvou vektorových prostorů do tělesa, které je lineární v obou složkách.

Definice

Nechť $𝒱$ je vektorový prostor nad tělesem $T$. Bilineární forma na $𝒱$ je každé zobrazení $B:𝒱\times 𝒱\to T$, které splňuje následující podmínky, kde $u,v,w\in 𝒱$a $\alpha \in T$:

$B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)$

$B(\alpha u,v)=\alpha B(u,v)$

$B(u,v+w)=B(u,v)+B(u,w)$

$B(u,\alpha v)=\alpha B(u,v)$

Matice bilineární formy a její transformace

Často je výhodné pracovat s bilineární formou jako s maticí. Ta je definována následovně:

Definice: Nechť $𝒱$ je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem $T$ a $C$ báze v něm. Nechť $a,b\in 𝒱$ jsou vektory a $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in T^n$jejich vyjádření vůči $C$. Nechť $B$ je bilineární forma na $𝒱$.

Matice $M$ je vyjádřením bilineární formy $B$ v bázi $C$ pokud splňuje:

$B(a,b)={\overrightarrow{a}}^{T}M\overrightarrow{b}\mathrm{\forall }a,b.$

Z této definice přímo vyplývá i transformační vztah pro matici bilineární formy. Pokud $a=R{a}^{\prime }$ a zároveň má platit ${a^{\prime }}^T{M}^{\prime }{b}^{\prime }=a^{T}Mb$, potom:

$a^{T}Mb=(R{a}^{\prime }{)}^{T}M(R{b}^{\prime })={a^{\prime }}^T(R^{T}MR)b^{\prime }={a^{\prime }}^T{M}^{\prime }{b}^{\prime }⟹M^{\prime }=R^{T}MR.$

Symetrická a antisymetrická bilineární forma

Bilineární forma se nazývá:

• symetrická, platí-li pro všechna u,v $B(u,v)=B(v,u)$.
• antisymetrická, platí-li pro všechna u,v $B(u,v)=-B(v,u)$.

Je-li charakteristika tělesa T různá od 2, lze každou bilineární formu rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část:

$B(u,v)=B^S(u,v)+B^A(u,v)$,

kde

$B^S(u,v)=\frac{1}{2}(B(u,v)+B(v,u))$ je symetrická a

$B^A(u,v)=\frac{1}{2}(B(u,v)-B(v,u))$ je antisymetrická.

Seskvilineární forma

Ve vektorových prostorech nad komplexními čísly se v mnoha případech (například jako skalární součin) místo bilineárních forem používají tzv. seskvilineární formy, které jsou v prvním argumentu antilineární a v druhém lineární. Jejich definice se od bilineární formy liší pouze jednou podmínkou. Zatímco pro bilineární formu platilo:

$B(\alpha u,v)=\alpha B(u,v)$

pro seskvilineární formu platí:

$B(\alpha u,v)=\overline{\alpha }B(u,v)$

kde $\overline{\alpha }$ je komplexní sdružení.

Obdobnou úvahou jako v případě bilineární formy můžeme dospět k maticovému zápisu $a^{+}Mb$a transformačnímu vztahu $R^{+}MR$, kde $A^{+}$značí matici hermitovsky sdruženou s $A$.

Související články

• Lineární zobrazení
• Lineární forma
• Kvadratická forma

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Otto