Koeficient špičatosti

Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti.

Koeficient špičatosti se obvykle označuje ${\gamma }_2$.

Definice

Koeficient špičatosti je definován vztahem

${\gamma }_2=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}=\frac{\mathrm{E}[X-\mathrm{E}(X){]}^4}{{(\mathrm{var}X)}^2}$,

kde ${\mu }_4$ je čtvrtý centrální moment, $\sigma$ je směrodatná odchylka, $\mathrm{E}(X)$ označuje střední hodnotu a $\mathrm{var}X$ je rozptyl.

Vlastnosti

Normální rozdělení má špičatost tři. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její střední hodnoty a hlavní vliv na rozptyl mají málo pravděpodobné odlehlé hodnoty. Křivka hustoty je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.

Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.

Výběrový koeficient špičatosti

Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem

$g_2=\frac{m_4}{m_2^2}=n\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^4}{{(\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2)}^2}$,

kde $\bar{x}$ je výběrový průměr, $m_2$ je výběrový rozptyl a $m_4$ je čtvrtý výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:

$\begin{array}{cc}{G}_2=\frac{M_4}{M_2^2}& =\frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}((n+1)g_2+6)\\ b_2=\frac{m_4}{M_2^2}& ={\left(\frac{n-1}{n}\right)}^2{g}_2-3\end{array}$

Pro rozptyly těchto odhadů platí $\mathrm{var}{b}_2<\mathrm{var}{g}_2<\mathrm{var}{G}_2$.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat