Laguerrovy polynomy

Laguerrovy polynomy, pojmenované po Edmondu Laguerrovi (1834 – 1886), je jeden z ortogonálních systémů polynomů. Využívají se například v kvantové mechanice pro popis vlnové funkce odpovídající stavům atomu vodíku.

Definice

Laguerrovy polynomy se obvykle definují jako soustava reálných polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

(p, q) \mapsto \int_{0}^{\infty} p (x) q (x) e^{- x} d x,

přičemž n-tý Laguerrův polynom $L_{n} (x)$ je polynom stupně n^[1]

Obecnějším způsobem jako soustavu polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

(p, q) \mapsto \int_{0}^{\infty} p (x) q (x) x^{a} e^{- x} d x

s $a > - 1$ získáme zobecněné či přidružené Laguerrovy polynomy $L_{n}^{(a)} (x)$ .

Další vztahy pro Laguerrovy polynomy $L_{n} (x)$ a $L_{n}^{(a)}$ , které se někdy uvádějí jako definice, jsou

L_{n} (x) = \frac{e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} e^{- x}),

L_{n}^{(a)} (x) = \frac{x^{- a} e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n + a} e^{- x}) .

Explicitně se dají definovat vztahy

L_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \frac{(- 1)^{k}}{k!} x^{k},

L_{n}^{(a)} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n + a}{n - k}) \frac{x^{k}}{k!} .

Někteří autoři^[2] definují Laguerrovy polynomy zvětšené faktorem $n!$ :

L_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} \frac{n^{2} {(n - 1)}^{2} \dots {(k + 1)}^{2}}{(n - k)!} x^{k} .

Laguerrovy polynomy $L_{n} (x)$ jsou kanonickými řešeními Laguerrovy diferenciální rovnice^[2]

x y^{''} + (1 - x) y^{'} + n y = 0

Libovolné polynomiální řešení této rovnice je součtem Laguerrových polynomů.

Následuje tabulka prvních několika Laguerrových polynomů: