Axiom závislého výběru

Axiom závislého výběru (zkráceně (DC) – „dependent choice“) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které je slabší verzí axiomu výběru.

Znění

Axiom závislého výběru lze vyslovit v kterékoli z běžně používaných axiomatizací teorie množin (ZF, NBG či KM) a to například takto:

Nechť X je množina a R binární relace na X splňující $(\mathrm{\forall }a\in X)(\mathrm{\exists }b\in X)aRb$. Pak existuje posloupnost $(x_n{)}_{n\in \omega }$ prvků X, že $x_{n}R{x}_{n+1}$ pro všechna $n\in \omega$.

Důsledky

Z (DC) vyplývá axiom spočetného výběru, a tedy i všechny jeho důsledky. Z (DC) neplyne existence neměřitelné množiny reálných čísel nebo množiny reálných čísel, která nemá Bairovu vlastnost.

Vztah k podobným axiomům

(DC) je důsledkem (obyčejného) axiomu výběru (AC), je ostře slabší (tj. (DC) neimplikuje (AC)). Naopak z (DC) vyplývá axiom spočetného výběru, který je ostře slabší než (DC).

Související články

• axiom silného výběru
• axiom úplného výběru
• axiom výběru
• axiom spočetného výběru