Souvislá množina

Souvislá (A) a nesouvislá (B) množina

Souvislá množina je v topologii množina, kterou nelze rozdělit na dvě disjunktní, neprázdné a otevřené podmnožiny.

Definice

Souvislá množina

Množina $𝐗\subset 𝐌$, $𝐗\ne \mathrm{\varnothing }$ topologického či metrického prostoru $(𝐌,\rho )$ se nazývá souvislá, pokud kdykoli $𝐀\subset 𝐌$, $𝐁\subset 𝐌$ jsou množiny otevřené v M takové, že

• $𝐗=𝐀\cup 𝐁$ a
• $𝐀\cap 𝐁=\mathrm{\varnothing }$.

Pak buď $𝐀=\mathrm{\varnothing }$ nebo $𝐁=\mathrm{\varnothing }$

Ekvivalentní definice

• Množina $𝐗\subset 𝐌$, $𝐗\ne \mathrm{\varnothing }$ topologického či metrického prostoru $(𝐌,\rho )$ se nazývá souvislá, pokud kdykoli $𝐀\subset 𝐌$, $𝐁\subset 𝐌$ jsou množiny uzavřené v M takové, že
  • $𝐗=𝐀\cup 𝐁$ a
  • $𝐀\cap 𝐁=\mathrm{\varnothing }$.

Pak buď $𝐀=\mathrm{\varnothing }$ nebo $𝐁=\mathrm{\varnothing }$

• Je-li $𝐟:𝐗\to [0,1]$ spojité zobrazení a $\{0,1\}\subset 𝐟[𝐗]$, pak $𝐟[𝐗]=[0,1]$.

Souvislý prostor

Topologický prostor je souvislý, je-li svou vlastní souvislou podmnožinou.

Topologický prostor $X$ je souvislý právě tehdy, když jediné podmnožiny v $X$, které jsou současně otevřené i uzavřené, jsou $X$ a $\mathrm{\varnothing }$. V opačném případě bývá prostor $X$ označován jako nesouvislý.

Komponenta souvislosti

Komponenta souvislosti množiny $𝐗\subset 𝐌$ je každá její maximální (vzhledem k $\subseteq$) souvislá podmnožina.

Odkazy

Související články

• Topologie
• Obloukově souvislá množina

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat