Trichotomická relace

Trichotomická relace je pojem z teorie množin, používaný především v teorii uspořádání.

Definice

Relace $R$ na množině $X$ je trichotomická, pokud platí:
$(\mathrm{\forall }a,b\in X)([a,b]\in R\vee [b,a]\in R\vee a=b)$

Řečeno lidsky: trichotomická relace je ten typ relace, kdy každé dva různé prvky jsou ve vztahu daném touto relací (v případě uspořádání bychom řekli, že jsou srovnatelné).

Příklady

Relace „je menší“ $<$ i „je menší nebo rovno“ $\le$ jsou trichotomické na množině přirozených čísel, racionálních čísel i reálných čísel.

Relace „je podmnožinou“ $\subseteq$ není trichotomická na potenční množině žádné množiny, která obsahuje alespoň dva prvky.
Pokud jsou $a,b\in X,a\ne b$ potom $\{a\},\{b\}\in \mathbb{P}(X)$,
ale neplatí ani $\{a\}\subseteq \{b\}$, ani $\{b\}\subseteq \{a\}$, ani $\{a\}=\{b\}$.

Motivace

Trichotomická relace svojí definicí trochu připomíná definici úplné relace, ale je o něco obecnější - zatímco pouze neostré uspořádání může být úplné, trichotomické může být i ostré uspořádání i neostré uspořádání.
Toho se využívá v obecné definici lineárního uspořádání, která je stejná pro ostré i neostré uspořádání.

Související články

• Uspořádání
• Lineární uspořádání
• Binární relace
• Úplná relace
• Ireflexivní relace