Majoranta

Majoranta, jinak také horní mez, horní závora nebo horní odhad, je matematický pojem z teorie uspořádání.

Definice

Majoranta se definuje následujícím způsobem:

Pokud je množina $A$ uspořádána relací $R$ a $B$ je podmnožina $A$, pak prvek $a\in A$ je majorantou $B$, právě když $(\mathrm{\forall }b\in B)(b\le a)$.

Množina $B\subseteq A$ je shora omezená, pokud pro ni existuje alespoň jedna majoranta.

Vlastnosti majoranty

• Pokud má množina $B\subseteq A$ z předchozí definice největší prvek, pak je tento prvek majorantou.
• Pomocí pojmu majoranty se dále definuje pojem supremum množiny jako nejmenší prvek množiny (nebo třídy) všech majorant (pokud tato množina má nejmenší prvek).

Příklady

Nechť A je množina všech reálných čísel (A = R), B je množina všech reálných čísel x takových, že x² < 3 a nechť R je relace obvyklého ostrého uspořádání reálných čísel (tj. R = <). Pak majorantou B při uspořádání R je například číslo 10. Nejmenší majorantou je číslo $s=\sqrt{3}$.

Nechť A je třída všech ordinálních čísel (A = On), B je množina všech konečných ordinálních čísel (tj. množina přirozených čísel) a R = $\in$ je uspořádání na třídě On. Pak majorantou B při uspořádání R je každé nekonečné ordinální číslo, nejmenší majorantou je číslo $s=\omega (={\mathrm{\aleph }}_0)$.

Související články

• Minoranta
• Supremum
• Infimum