Protiřetězec

Protiřetězec (někdy také označovaný jako antiřetězec) je matematický termín z oboru algebry a teorie uspořádání, který se používá pro označení množin vzájemně neporovnatelných prvků.

Definice

Předpokládejme, že množina $X$ je uspořádána relací $R$. O podmnožině $Y\subseteq X$ řekneme, že se jedná o protiřetězec, pokud jsou každé dva různé prvky $a,b\in Y$ neporovnatelné pomocí $R$, tj.
$(\mathrm{\forall }a,b\in Y)(a{\le }_{R}b⟹a=b)$

Příklady

Protiřetězce v lineárním uspořádání

V lineárně uspořádané množině nemá pojem protiřetězec příliš dobrý smysl – každé dva prvky jsou porovnatelné a neexistují jiné než (nepříliš zajímavé) jednoprvkové protiřetězce. To se týká například běžného uspořádání reálných čísel nebo přirozených čísel podle velikosti.

Protiřetězce v množině komplexních čísel

Uvažujme ostré uspořádání $R$ množiny komplexních čísel podle vzdálenosti od nuly (tj. podle absolutní hodnoty). Kdo by měl problém s pojmem komplexního čísla, může si představit geometrickou rovinu a vzdálenost bodů (uspořádaných dvojic) od počátku souřadnic (tj. od bodu [0,0]):
$c_1{<}_R{c}_2\iff |c_1|<|c_2|$

Položme si otázku, jaké největší protiřetězce zde existují. Každé dva body, které mají stejnou vzdálenost od nuly (leží na stejné kružnici se středem v nule) jsou neporovnatelné a mohou tedy spolu náležet do protiřetězce. Jakmile ale nějaké dva body leží na dvou různých kružnicích se středem v 0, mají různou absolutní hodnotu a jsou porovnatelné – nemohou být spolu v jednom protiřetězci.

Největší možné protiřetězce při tomto uspořádání komplexních čísel jsou tedy soustředné kružnice se středem v bodě 0.

Protiřetězce vzhledem k dělitelnosti

Uvažujme o množině všech kladných přirozených čísel, s uspořádáním podle dělitelnosti (tj. $a{\le }_{|}b$, pokud $a$ dělí $b$).

Při tomto uspořádání existují v množině přirozených čísel libovolně velké (co do počtu prvků) protiřetězce. Příkladem nekonečného protiřetězce je množina všech prvočísel. Tento protiřetězec je přitom největší možný – jakékoliv kladné přirozené číslo je porovnatelné s nějakým prvočíslem, takže ho nelze k tomuto protiřetězci přidat, aniž by přestal být protiřetězcem.

Existuje zde ale i jeden největší možný protiřetězec, který je pouze jednoprvkový – je to množina $\{1\}$. Důvod je ten, že číslo 1 je porovnatelné s každým přirozeným číslem (dělí každé přirozené číslo).

Odkazy

Související články

• Hasseův diagram
• Dobře uspořádaná množina
• Lineární uspořádání