Řád prvku

Řád prvku $a$ v grupě $G$ je takové nejmenší přirozené číslo $n$, že $a^n=1$ (přičemž $1$ je neutrální prvek grupy $G$), značíme jej $\mathrm{ord}a$ nebo $|a|$.

Definice

Buď dána grupa $G$, a prvek $a\in G$. Je-li cyklická grupa generovaná prvkem $a$ konečná, pak řád prvku $a$ v grupě $G$ klademe roven řádu této cyklické grupy, jinak $0$ (u některých autorů $\mathrm{\infty }$).

Tvrzení

• Z Lagrangeovy věty plyne, že řád prvku je dělitelem řádu grupy.
• Pokud je řád prvku roven řádu grupy, pak je tento prvek jejím generátorem a tato grupa je cyklická.
• Buď $f:G\to H$ homomorfismus grup a $a\in G$ prvek konečného řádu, pak $\mathrm{ord}f(a)|\mathrm{ord}a$. Je-li navíc $f$ injektivní, pak $\mathrm{ord}f(a)=\mathrm{ord}a$.
• Neutrální prvek je jediný prvek grupy s řádem $1$ (plyne z jednoznačnosti neutrálního prvku).

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Odkazy

Související články

• Grupa
• Cyklická grupa
• Řád grupy