Dynkinův systém

Dynkinův systém, je pojem z teorie míry a teorie pravděpodobnosti, podoborů matematiky. Rozumí se jím systém podmnožin dané množiny, který splňuje tři axiomy o něco slabší než axiomy požadované od používanějších σ-algeber. Sám Jevgenij Borisovič Dynkin, rusko-americký matematik, po kterém jsou pojmenovány, je označoval za λ-systémy.

Definice

Nechť je $\mathrm{\Omega }$ neprázdná množina a $D$ je podmnožina její potenční množiny, tedy množina některých podmnožin $\mathrm{\Omega }$. Pak je $D$ Dynkinův systém, pokud:

1. $\mathrm{\Omega }\in D$,
2. pokud $A,B\in D$ a $A\subseteq B$, pak i $B\setminus A\in D$ (s množinou a podmnožinou tam patří i jejich rozdíl) a
3. pokud $A_1,A_2,A_3,\dots$ je posloupnost podmnožin $D$ a $A_n\subseteq A_{n+1}$ pro všechna $n\ge 1$, pak $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in D$.

Alternativní definice

Ekvivalentní definice má za stejných předpokladů tyto tři podmínky:

1. $\mathrm{\Omega }\in D$,
2. pokud $A\in D$, pak i $A^C\in D$ a
3. pokud $A_1,A_2,A_3,\dots$ je posloupnost podmnožin $D$ a $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$ pro všechna $i\ne j$, pak $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in D$.

Další možnou kombinací podmínek je:

1. $\mathrm{\Omega }\in D$,
2. pokud $A,B\in D$ a $A\subseteq B$, pak i $B\setminus A\in D$ a
3. pokud $A_1,A_2,A_3,\dots$ je posloupnost podmnožin $D$ a $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$ pro všechna $i\ne j$, pak $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in D$.