Lebesgueova věta

Lebesgueova věta popřípadě Lebesgueova věta o záměně limity a integrálu je matematická věta umožňující záměnu pořadí operací:$\lim$ a $\int$.

Znění věty

Ať funkce $f_n(x)$ a $f(x)$ jsou měřitelné v $M$ a $f_n(x)\to f(x)$ pro skoro všechna $x\in 𝐌$. Ať existuje $g(x)\in 𝐋(M)$ Tak, že $|f_n(x)|\le g(x)$ skoro všude v $M$. Pak platí: $f$ je měřitelná na $M$ a $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{M}{\int }{f}_n(x)dx=\underset{M}{\int }f(x)dx$, což lze zapsat i jako:$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{M}{\int }{f}_n(x)dx=\underset{M}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)dx$.

Poznámka

• Existuje i verze této věty pro řady funkcí

Reference

• Http://mathworld.wolfram.com/LebesguesDominatedConvergenceTheorem.html