Legendreův symbol

Legendreův symbol je multiplikativní funkce zavedená v teorii čísel. Při pevně daném prvočísle p nabývá pro různá celá čísla a hodnot 0, 1 a -1 podle toho, zda je a soudělné s p a zda je a modulo p čtvercem.

Legendreův symbol zavedl Adrien-Marie Legendre v roce 1798 při dokazování zákona kvadratické reciprocity. Existují jeho zobecnění, například Jacobiho symbol. Jeho značení přejaly také jiné funkce algebraické teorie čísel, například Hilbertův symbol a Artinův symbol.

Definice

Nechť p je prvočíslo. Celé číslo a se označuje kvadratický zbytek, pokud je modulo kongruentní druhé mocnině nějakého celého čísla, v opačném případě se nazývá kvadratický nezbytek. Legendreův symbol je funkce dvou proměnných p a a definovaná takto:

$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{c}1\text{ pokud }a\text{ je kvadr. zbytek modulo}p\text{ a }a\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)\\ -1\text{ pokud }a\text{ je kvadr. nezbytek modulo}p\\ 0\text{ pokud }a\equiv 0(\mathrm{mod}p).\end{array}$

Legendreova původní definice byla pomocí vzorců:

$\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{(p-1)/2}(\mathrm{mod}p)\text{ a }\left(\frac{a}{p}\right)\in \{-1,0,1\}.$

Že jsou tyto definice ekvivalentní plyne z Eulerova kritéria, které bylo známo ještě před zavedením Legendreova symbolu. Legendreův přínos zde tkví právě v zavedení nové notace (předtím například Gauss používal pro vyjádření téhož zápisy aRp, aNp).

Vlastnosti

• Legendreův symbol je ve své první proměnné periodický; platí-li a ≡ b (mod p), pak:

$\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right).$

• Legendreův symbol je ve své první proměnné úplná multiplikativní funkce, tedy:

$\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right).$

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie