Maticová kvantová mechanika

Maticová kvantová mechanika je formulace kvantové mechaniky vytvořená Wernerem Heisenbergem roku 1925, která používá jako matematický aparát vektorový a maticový počet.

Elementy maticové formulace

Stav systém

Stav systému je popsán vektorem $\psi =\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\\ ⋮\end{array}\right)$

Veličiny

Ke každé pozorovatelné veličině lze přiřadit matici.

Příkladem vyjádření veličin ve formě matic je matice příslušející poloze (částice)

$\hat{X}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\cdot \left(\begin{array}{ccccc}0& \sqrt{1}& 0& 0& \dots \\ \sqrt{1}& 0& \sqrt{2}& 0& \dots \\ 0& \sqrt{2}& 0& \sqrt{3}& \dots \\ 0& 0& \sqrt{3}& 0& \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right)$

a matice příslušející hybnosti (částice)

$\hat{P}=i\sqrt{\frac{\hslash m\omega }{2}}\cdot \left(\begin{array}{ccccc}0& -\sqrt{1}& 0& 0& \dots \\ \sqrt{1}& 0& -\sqrt{2}& 0& \dots \\ 0& \sqrt{2}& 0& -\sqrt{3}& \dots \\ 0& 0& \sqrt{3}& 0& \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right)$

Lze ukázat, že $\hat{X}$ a $\hat{P}$ splňují komutační relace, neboť

$[\hat{P},\hat{X}]=\hat{P}\hat{X}-\hat{X}\hat{P}=\frac{\hslash }{i}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& \dots \\ 0& 1& 0& 0& \dots \\ 0& 0& 1& 0& \dots \\ 0& 0& 0& 1& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right)=\frac{\hslash }{i}.$