Symetrická grupa

Symetrická grupa je termín z matematiky, z teorie grup. Jedná se o grupu permutací, jejímž nosičem je množina všech permutací množiny, neboli všechny bijekce této množiny na sebe samu a operací je skládání těchto zobrazení. Symetrická grupa n-prvkové množiny se značí $S_n$.

Vlastnosti

Symetrická grupa n-prvkové množiny $S_n$ má n! (n faktoriál) prvků.

Podle Cayleyovy věty o reprezentaci je každá grupa G isomorfní podgrupě symetrické grupy na G.

Symetrická grupa $S_n$ je nekomutativní pro n>2. Obsahuje normální podgrupu $A_n$ všech sudých permutací, která je jednoduchá pro $n\ge 5$.

Počet konjugačních tříd $S_n$ je Par(n), tj. počet možností, jak číslo n napsat jako součet přirozených čísel. Stejný je počet jejích ireducibilních reprezentací. Studium těchto reprezentací má souvislost s reprezentacemi obecné lineární grupy $Gl(n,ℂ)$.

Symetrická grupa $S_n$ nemá žádné vnější automorfismy s výjimkou $n=6$. Grupa $S_6$ má grupu vnějších automorfizmů $Out(S_6)\simeq {\mathbb{Z}}_2$.

Příklad

Symetrická grupa $S_3$ je isomorfní grupě symetrie rovnostranného trojúhelníka, kterou tvoří shodnosti zobrazující tento trojúhelník na sebe sama. Je to tedy zároveň dihedrální grupa $D_3$. Má 6 prvků (3 zrcadlení a 3 otočení) a je nekomutativní. Je to nekomutativní grupa s nejmenším možným počtem prvků, neisomorfní šestiprvkové grupy jsou komutativní.

Reference

• Bruce Eli Sagan, The symmetric group, Springer, 2001