Kreační operátor

Šablona:Upravit Kreační a anihilační operátory byly původně zavedeny jako pomůcka pro řešení lineárního harmonického oscilátoru. Později nalezly značné uplatnění ve formalizmu obsazovacích čísel u nerozlišitelných částic, případně teorii pole.

Lineární harmonický oscilátor

U lineárního harmonického oscilátoru zavádíme anihilační operátor v energiové bázi takto:

$\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$

Matice tohoto operátoru má tedy tvar:

$\hat{a}=\left(\begin{array}{ccccc}0& \sqrt{1}& 0& \cdots & \cdots \\ 0& 0& \sqrt{2}& \cdots & \cdots \\ ⋮& 0& 0& \sqrt{3}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Hermitovským sdružením matice získáme vztah pro operátor kreační:

${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$

Speciálně od je zřejmé, že: $\hat{a}|0⟩=0$

Případně, že:

$|n⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}({\hat{a}}^{†}{)}^n|0⟩$

Vidíme tedy, že n-tý energetický stav je až na konstantu dán n-násobným působením kreačního operátoru na vektor $|0⟩$, který nazýváme vakuum.

Pro další výpočty je užitečná komutační relace, kterou lze snadno odvodit z definice:

$[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$

Z definic je taktéž zřejmé, že definujeme-li operátor $\hat{N}$ jako

$\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}$,

pak pro diagonální maticové elementy platí:

$⟨n|\hat{N}|n⟩=n$

Tento operátor tedy odpovídá pozorovatelné veličině, jenž udává v kolikáté energetické hladině se systém nalézá. Z důvodu, jenž bude zřejmý později, tento operátor nazýváme operátorem počtu částic.

Reprezentace obsazovacích čísel

Reprezentace obsazovacích čísel je s výhodou používána u systémů skládajícího se z několika identických částic, bosonů nebo fermionů. Výhodou tohoto popisu je skutečnost, že takto zapsané vektory automaticky splňují podmínky související s nerozlišitelností částic. Šablona:Autoritní data