Liouvilleův teorém

Liouvilleův teorém je mechanický princip, který má uplatnění zejména ve statistické fyzice.

Teorém říká, že objem určité oblasti ve fázovém prostoru (tedy prostoru zobecněných souřadnic a hybností) se během pohybu (ten je dán Hamiltonovými rovnicemi) nemění, tento objem může pouze měnit svůj tvar.

Zobecněním principu je invariance fázového objemu vůči všem kanonickým transformacím (jednou z nich je právě pohyb).

Jeho důkaz pro jednu dimenzi vychází z jakobiánu a poissonových závorek. Při počítání objemu fázového prostoru v nových souřadnicích integrujeme:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{d}P\mathrm{d}Q=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|J|\mathrm{d}p\mathrm{d}q=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|J|\mathrm{d}p\mathrm{d}q$,

kde jakobián $J$ lze zapsat pomocí Poissonových závorek a vyjde přesně jednička, protože jakobián v sobě obsahuje derivace starých proměnných ($P$ a $Q$) podle nových ($p$ a $q$):

$J=\frac{\partial Q}{\partial q}\frac{\partial P}{\partial p}-\frac{\partial P}{\partial q}\frac{\partial Q}{\partial p}=\{Q,P\}{|}_{q,p}=1$.