Absolutně spojitá funkce

Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice

Funkci $f(x)$ označíme jako absolutně spojitou na intervalu $⟨a,b⟩$, jestliže k libovolnému $\epsilon >0$ existuje takové $\delta >0$, že pro každý systém intervalů $⟨a_1,b_1⟩,⟨a_2,b_2⟩,\dots ,⟨a_n,b_n⟩$, pro který je $a\le a_1\le b_1\le a_2\le b_2\le \cdots \le a_n\le b_n\le b$, a $\sum _{i=1}^n(b_i-a_i)<\delta$ platí $\sum _{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|<\epsilon$.

Prostor všech absolutně spojitých funkcí na intervalu $⟨a,b⟩$ značíme $AC(a,b)$

Příklady

• Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá.
• Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá.
• $f(x)=x$ je absolutně spojitá.

Ekvivalentní definice

$f$ je absolutně spojitá na $⟨a,b⟩$ právě tehdy, když

• $f\in L^1(a,b)$ je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
• $\mathrm{\exists }g\in L^1(a,b)$ taková, že $f(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{\forall }x\in (a,b)$
• $\mathrm{\exists }h\in L^1(a,b)$ taková, že $|f(d)-f(c)|\le \underset{c}{\overset{d}{\int }}h(t)\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{\forall }⟨c,d⟩\subset ⟨a,b⟩$

Vlastnosti

• Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
• Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
• Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá
• Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí: $f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{\forall }x\in ⟨a,b⟩$
• pokud $f\in L^1(a,b)$ a $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}\mathrm{t}$, pak $F$ je absolutně spojitá na $⟨a,b⟩$

Související články

• Lipschitzovsky spojité zobrazení
• Spojitá funkce