Stefanův–Boltzmannův zákon

Stefanův–Boltzmannův zákon publikovaný roku 1879 Ludwigem Boltzmannem a Jožefem Stefanem popisuje celkovou intenzitu záření absolutně černého tělesa. Tento zákon říká, že intenzita vyzařování roste se čtvrtou mocninou termodynamické teploty zářícího tělesa.

$I=\sigma T^4$

• I – celková intenzita záření (podíl výkonu a plochy) [W·m⁻²]
• $\sigma =5,670374419\cdot 10^{-8}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{4}}$ – Stefanova–Boltzmannova konstanta
• T – termodynamická teplota [K]

Pro „šedé těleso“ lze Stefanův–Boltzmannův zákon psát jako

$I=ϵ\sigma T^4$

kde $ϵ$ je emisivita povrchu tělesa.

Tabulka

Tabulka ukazuje příklady hodnot měrného výkonu (intenzity záření) pro některé teploty:

Teplota [°C]	Teplota [K]	Intenzita [W·m−2]	Poznámka
0	273,15	315,6	teplota tání ledu
100	373,15	1100	teplota varu vody
120,85	394	1366	solární konstanta ve vzdálenosti 1 AU od Slunce, tuto teplotu by měla černá deska kolmá ke Slunci, kdyby mohla vyzařovat jen osluněnou stranou
5507	5780	6,33×107	povrch Slunce

Odvození

Vyjdeme z Planckova vyzařovacího zákona:

$\mathrm{d}I(\omega )=\frac{\hslash }{4{\pi }^2{c}^2}\frac{{\omega }^3}{e^{\frac{\hslash \omega }{kT}}-1}\mathrm{d}\omega$,

v němž veličina $I(\omega )$ je intenzita záření absolutně černého tělesa na dané frekvenci $\omega$. Celkovou intenzitu záření $I$ vyzařovanou napříč spektrem pak získáme integrací přes všechny možné úhlové frekvence záření:

$I=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}I(\omega )}{\mathrm{d}\omega }\mathrm{d}\omega =\frac{\hslash }{4{\pi }^2{c}^2}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\omega }^3\mathrm{d}\omega }{e^{\frac{\hslash \omega }{kT}}-1}$.

Integrál v tomto výrazu zjednodušíme substitucí $x=\frac{\hslash \omega }{kT}$, podle které $\omega =\frac{kT}{\hslash }x$ a $\mathrm{d}\omega =\frac{kT}{\hslash }\mathrm{d}x$:

$I=\frac{\hslash }{4{\pi }^2{c}^2}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3\mathrm{d}x}{e^x-1}\frac{k^4{T}^4}{{\hslash }^4}$.

Hodnota určitého integrálu z tohoto výrazu je $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3\mathrm{d}x}{e^x-1}=\frac{{\pi }^4}{15}$, takže

$I=\frac{{\pi }^2{k}^4}{60{\hslash }^3{c}^2}{T}^4=\sigma T^4$.

Související články

• Planckův vyzařovací zákon
• Wienův posunovací zákon

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat