Sdružený operátor

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

Definice

Jsou-li $\mathscr{H}$ a $𝒦$ Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru $T:\mathscr{H}\to 𝒦$ sdruženým operátorem $T^{*}:𝒦\to \mathscr{H}$, nazveme takový operátor, který splňuje: $⟨Tx,y⟩=⟨x,T^{*}y⟩\mathrm{\forall }x\in \mathscr{H},y\in 𝒦.$

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení $A^{†}$, ve fyzice někdy $A^{+}$.

Vlastnosti

Základní vlastnosti

• $T^{**}=T$
• $(S+T{)}^{*}=S^{*}+T^{*}$
• $(ST{)}^{*}=T^{*}{S}^{*}$
• $(\lambda T{)}^{*}=\bar{\lambda }{T}^{*}$
• Je-li $T$ invertibilní, tak: $(T^{*}{)}^{-1}=(T^{-1}{)}^{*}$
• V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoru

Máme-li běžnou operátorovu normu

$\Vert T\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert Tx\Vert$

Tak platí:

$\Vert T\Vert =\Vert T^{*}\Vert$

A navíc:

$\Vert T^{*}T\Vert =\Vert T{\Vert }^2$

Vztah jádra a obrazu

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj.:

$\mathrm{Ker}{T}^{*}=(\mathrm{Im}T{)}^{\mathrm{\perp }}$

$(\mathrm{Ker}{T}^{*}{)}^{\mathrm{\perp }}=\overline{\mathrm{Im}T}$

Prvá rovnost platí protože:

$\begin{array}{cc}{T}^{*}x=0& ⟺⟨T^{*}x,y⟩=0\mathrm{\forall }y\in \mathscr{H}\\ & ⟺⟨x,Ty⟩=0\mathrm{\forall }y\in \mathscr{H}\\ & ⟺x\mathrm{\perp }\mathrm{Im}T\end{array}$

Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.

Šablona:Autoritní data Šablona:Portály