Frekvenční modulace

Principem frekvenční modulace (FM) je závislost okamžité frekvence nosné vlny na změnách amplitudy modulačního signálu. Můžeme říct, že okamžitá úhlová frekvence $\mathrm{\Omega }(t)$ je funkcí času a mění se v rytmu okamžité výchylky modulačního signálu. Informace je tedy kódována nikoliv změnou amplitudy nebo fáze, ale změnou frekvence nosné vlny. Maximální amplitudě napětí modulačního průběhu $U_m$ odpovídá maximální změna frekvence nosné, kterou nazýváme frekvenční zdvih a značíme $\mathrm{\Delta }f$, čemuž odpovídá úhlová frekvence $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega }$.

Matematický popis

Ukázka časového průběhu frekvenčně modulovaného signálu.

Obecně bude mít nosná vlna následující průběh:

$u_n(t)=U_n\sin (\mathrm{\Omega }t+\varphi )$

kde $U_n$ je amplituda nosné, $\mathrm{\Omega }$ je úhlová frekvence nosné a $\varphi$ fáze.

V případě frekvenční modulace je funkcí času právě úhlová frekvence $\mathrm{\Omega }$.

Úhlovou frekvenci jako harmonickou funkci času můžeme vyjádřit vztahem:

$\mathrm{\Omega }(t)=\mathrm{\Omega }+\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega }\cos (\omega t)$

kde $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega }$ je frekvenční zdvih, $\omega$ pak úhlová frekvence modulační vlny.

Po dosazení do rovnice nosné vlny a položením fázového posuvu $\varphi =0$ (jeho velikost je konstantní a nemá vliv na výsledek dalších odvození a výpočtů) dostáváme vztah:

$u_n(t)=U_n\sin ((\mathrm{\Omega }+\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega }\cos (\omega t))t)=U_n\sin (\mathrm{\Phi }(t,\omega ))$

kde funkce $\mathrm{\Phi }(t,\omega )$ je okamžitá fáze napětí a pro $\varphi =0$ je integrálem úhlové frekvence $\mathrm{\Omega }(t)$ podle $t$. Platí tedy:

$\mathrm{\Phi }(t,\omega )=\int \mathrm{\Omega }(t)\mathrm{d}t=\int (\mathrm{\Omega }+\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega }\cos (\omega t))\mathrm{d}t=\mathrm{\Omega }t+\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega }}{\omega }\sin (\omega t)$

Dále zavádíme parametr zvaný modulační index FM označený $m_{FM}$:

$m_{FM}=\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega }}{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{\Delta }f}{2\pi f_m}$

kde $\mathrm{\Delta }f$ je frekvenční zdvih a $f_m$ frekvence modulačního signálu.

Dosazením funkce $\mathrm{\Phi }(t,\omega )$ zpět do rovnice $u_n=U_n\sin (\mathrm{\Phi }(t,\omega ))$ dostáváme obvyklý tvar rovnice frekvenčně modulované vlny:

$u_n=U_n\sin (\mathrm{\Omega }t+m_{FM}\sin (\omega t))$

kde $u_n$ je okamžitá hodnota napětí modulovaného signálu, $U_n$ amplituda nosné vlny, $\mathrm{\Omega }$ úhlová frekvence nosné vlny, $m_{FM}$ modulační index a $\omega$ frekvence modulační vlny.

Spektrum frekvenčně modulovaného signálu

Úpravou rovnice frekvenčně modulované vlny podle vzorce pro součin argumentů funkce sinus získáme rovnici ve tvaru:

$u_n=U_n(\sin (\mathrm{\Omega }t)\cos (m_{FM}\sin (\omega t))+\cos (\mathrm{\Omega }t)\sin (m_{FM}\sin (\omega t)))$

Dále platí, že lze provést tento rozvoj:

$\sin (m_{FM}\sin (\omega t))=2J_1(M_{FM})\sin (\omega t)+2J_3(M_{FM})\sin (3\omega t)+2J_5(M_{FM})\sin (5\omega t)+\cdots$

$\cos (m_{FM}\sin (\omega t))=J_0(M_{FM})+2J_2(M_{FM})\cos (2\omega t)+2J_4(M_{FM})\cos (4\omega t)+\cdots$

Vidíme, že vzniká nekonečná řada součinů. Funkce označené jako $J_n(m_{FM})$ jsou Besselovy funkce I. druhu n-tého řádu s argumentem $m_{FM}$, což je modulační index FM. Dosazením do poslední rovnice a další úpravou podle vzorců pro součiny goniometrických funkcí získáme nekonečnou řadu diskrétních složek o úhlových frekvencích:

$\mathrm{\Omega },\mathrm{\Omega }-\omega ,\mathrm{\Omega }-2\omega ,\mathrm{\Omega }-3\omega ,\mathrm{\Omega }-4\omega ,\mathrm{\Omega }-5\omega ,\dots$

$\mathrm{\Omega }+\omega ,\mathrm{\Omega }+2\omega ,\mathrm{\Omega }+3\omega ,\mathrm{\Omega }+4\omega ,\mathrm{\Omega }+5\omega ,\dots$

Spektrum frekvenčně modulovaného signálu pro modulační index 3.3, používaného pro přenos TV zvuku.

Z výše uvedeného rozvoje vyplývá, že frekvenční modulace jednou frekvencí $\omega$ vytvoří nekonečně mnoho postranních frekvencí, jež jsou rozmístěny symetricky na obě strany od nosné frekvence ve vzdálenostech daných násobky modulační frekvence $\omega$. Amplitudy nosné vlny i jednotlivých postranních frekvencí jsou dány hodnotami Besselových funkcí I. druhu $J_n(m_{FM})$ a jsou tedy závislé na modulačním indexu. Směrem od nosné tyto amplitudy postupně klesají, nikoliv však monotónně. Pro některé konkrétní hodnoty modulačního indexu mohou jednotlivé složky zcela vymizet (hodnota funkce $J_n(m_{FM})$ je právě nulová). Stejně tak může vymizet i nosná vlna, platí-li, že $J_0(m_{FM})=0$. Vzhledem ke klesajícím hodnotám amplitud jednotlivých složek klesá jejich vliv na kvalitu přenosu. Pro dostatečně kvalitní přenos pak stačí přenášet pouze několik prvních postranních frekvencí. Kolik je jich v konkrétním případě třeba závisí na modulačním indexu a přípustné degradaci přenášeného signálu. Pro kvalitní přenos je třeba modulační index zhruba 3 až 5. Nižší způsobuje větší zkreslení, vyšší zhoršuje odstup signál / šum. Pro zlepšení šumových poměrů se při FM přenosu běžně používá nadzvednutí vyšších frekvencí modulačního spektra (nízkofrekvenční preemfáze a deemfáze).

Potřebná šířka přenosového pásma je závislá na modulačním indexu $m_{FM}$. Pro hodnotu $m_{FM}=5$ se uvádí následující empirický vzorec:

$B\ge 2(\mathrm{\Delta }f+f_{max})$

kde $\mathrm{\Delta }f$ je frekvenční zdvih a $f_{max}$ je maximální modulační frekvence.

Využití

FM je běžně využívána v pásmu VHF pro kvalitní přenos zvuku. Zvuk u klasických analogových televizních soustav je také přenášen za použití frekvenční modulace, pro komerční i radioamatérské komunikační účely je využívána její úzkopásmová forma. Dalším využitím je FM syntéza, která získala oblibu díky raným syntezátorům a stala se standardním způsobem syntézy zvuku u několika generací zvukových karet. Bez FM by se taktéž neobešel analogový magnetický záznam obrazu, kde je s malým modulačním indexem používána pro snížení oktávového rozsahu zaznamenávaného signálu, a to z cca 18 oktáv na méně než 3 oktávy.

Parametry některých aplikací FM

Služba	$f_{max}$	$\mathrm{\Delta }f$	$m_{FM}$
FM rozhlas mono	15 kHz	75 kHz	5
FM rozhlas stereo	53 kHz	75 kHz	1,42
TV zvuk	15 kHz	50 kHz	3,33
Komunikační účely			< 0,5

Související články

• Modulace
• Amplitudová modulace
• Fázová modulace
• Pulzní modulace

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Metody frekvenční modulace a demodulace
• Problémy s příjmem FM
• Norsko skončilo s FM a přešlo na DAB, Lupa.cz, 15.12.2017