Zobrazení zdroje stránky Z-test

[[Soubor:Confidence Interval 90P.png|náhled|Standardizované normální rozdělení s vyznačenou oblastí hodnot testovací statistiky, při kterých zamítáme nulovou hypotézu na hladině ''α'' = 10 %]]
'''Z-test''' je statistický test, při němž za předpokladu [[Nulová hypotéza|nulové hypotézy]] má testová statistika [[normální rozdělení]] se známou [[Směrodatná odchylka|směrodatnou odchylkou]]. Pokud směrodatnou odchylku předem neznáme, ale odhadujeme z dat, tak se používá Studentův [[t-test]], leda by počet pozorování byl tak velký (udává se aspoň 30), že rozdíl mezi oběma typy testu je prakticky zanedbatelný.

Postup testování z-testem je takový, že testovou [[Statistika|statistiku]] lineární transformací standardizujeme a porovnáme s kritickou hodnotou, zde tedy vhodným [[kvantil]]em standardizovaného normálního rozdělení, vypočteným na základě požadované hladiny spolehlivosti. Pokud hodnota padne příliš daleko od nuly, tedy do „chvostu“ rozdělení za kritickou hodnotu, tak nulovou hypotézu zamítneme, v opačném případě nezamítneme.

Z-test obvykle vychází z předpokladu, že máme k dispozici <math>n</math> nezávislých realizací náhodné veličiny <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math>, o které předpokládáme, že platí-li nulová hypotéza, mají normální rozdělení se středem <math>\mu_X</math> a směrodatnou odchylkou <math>\sigma_X</math>. Jejich aritmetický průměr
:<math>\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math>
proto má také normální rozdělení se středem <math>\mu_X</math> a standardní chybou <math>\sigma_X/\sqrt{n}</math>.

Lineární transformací uvedeného [[Aritmetický průměr|aritmetického průměru]] dostaneme veličinu
:<math>Z = \frac{\bar X - \mu_X}{\sigma_X}\sqrt{n},</math>
která má za předpokladu nulové hypotézy [[standardizované normální rozdělení]] a používá se jako [[testová statistika]].

Z-test lze použít i pro testování velikosti rozdílu mezi středními hodnotami dvou normálních [[Náhodná veličina|náhodných veličin]] se známými směrodatnými odchylkami. Mám-li vedle již popsané řady pozorování ještě další nezávislé realizace náhodné veličiny <math>Y_1, Y_2, \dots, Y_m</math> se střední hodnotou <math>\mu_Y</math>, směrodatnou odchylkou <math>\sigma_Y</math> a aritmetickým průměrem
:<math>\bar Y = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Y_i,</math>
jež jsou navíc nezávislé na <math>X,</math> tak je <math>\bar X-\bar Y</math> normálně rozdělena se střední hodnotou <math>\mu_X - \mu_Y</math> a směrodatnou odchylkou <math>\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n} + \frac{\sigma_Y^2}{m}}</math>. Testovací statistika pak je
:<math>Z = \frac{(\bar X - \bar Y)-\delta}{\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n} + \frac{\sigma_Y^2}{m}}}</math>
a má opět standardizované normální rozdělení.

{{Pahýl}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Testování statistických hypotéz]]