Zobrazení zdroje stránky Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin

'''Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin''' (někdy také označovaná jako '''Gödelova-Bernaysova teorie množin''' nebo '''NBG''' či '''GB''') je jedním z nejšířeji přijatých a používaných [[Axiomatická teorie množin|axiomatických systémů]] [[teorie množin]].

Stejně jako v případě [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin]] nebo [[Kelleyova-Morseova teorie množin]] se jedná o (úspěšný) pokus postavit teorii množin a tím i celou moderní [[Matematika|matematiku]] na přísných formálních základech, které zabrání sporům typu [[Russellův paradox|Russellova paradoxu]].

== Historie ==
První axiomatiku [[teorie množin]] s [[třída (matematika)|třídami]] předvedl ve své práci ''Eine axiomatisierung der Mengenlehre'' z roku [[1925]] [[John von Neumann]]. Tato axiomatizace se však podstatně liší od dnes obecně uznávané (jazyk této axiomatizace dokonce neobsahuje predikát náležení). První axiomatizaci dnešního typu předvedl [[Paul Bernays]] ve své práci ''A system of axiomatic set theory'' ([[1937]]). Jeho myšlenky dokončil roku [[1940]] [[Kurt Gödel]] v článku ''The consistency of the axiom of choice and of the general continuum hypothesis''. Význam tohoto článku však dalekosáhle přesahuje pouhé doladění axiomatizace '''NBG'''.

== Vztah NBG a ZFC ==
'''Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' se z hlediska své síly příliš neliší od poněkud rozšířenější '''[[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|ZF]]''' či '''[[ZFC]]''' (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o [[axiom výběru]]) — libovolný výrok o [[Množina|množinách]] je v '''NBG''' dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v '''[[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|ZF]]''' — mluvíme tedy o teorii '''NBG''' jako o [[Konzervativní rozšíření|konzervativním rozšíření]] teorie '''[[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|ZF]]''' (říkáme také, že '''NBG''' a '''ZF''' jsou ekvikonzistentní). Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.

Na rozdíl od '''[[ZFC]]''', jejímž objektem jsou pouze [[množina|množiny]], zatímco [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni [[metajazyk]]a, v '''NBG''' jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin — na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení — jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu:
: <math>Set(X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \isin Y)</math>.
Někdy se k axiomům '''NBG''' přidává ještě takzvaný silný axiom výběru, či [[axiom silného výběru]], výsledná teorie se pak značí '''NBG+AS'''. Axiom silného výběru lze formálně zapsat následujícím způsobem (axiom silného výběru tedy postuluje, že všechny vlastní třídy mají tutéž [[mohutnost]]):
: <math> \neg Set(X) \Leftrightarrow ( \| X \| = \| V \|)</math>,
kde <math>V</math> je třída všech množin — [[univerzální třída]].

Na rozdíl od '''ZF''' neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) '''NBG''' nekonečný počet axiomů — nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů nahrazení|schématu axiomů nahrazení]] nebo [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů vydělení|schématu axiomů vydělení]].

== Axiomy ==
Teorie '''NGB''' má následující [[axiom]]y. Velká písmena v nich označují obecné (třídové) proměnné, mohou tedy zastupovat [[vlastní třída|vlastní třídy]] i množiny, zatímco malá písmena zastupují výhradně množiny.

* axiom definice množiny: <math>(\exists x)(x=X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \in Y)</math>
* axiom existence množiny: <math>(\exist X,Y)(X\in Y)</math>
* axiom extenzionality pro třídy: <math>(\forall X,Y)(X=Y \Leftrightarrow (\forall e)(e \in X \Leftrightarrow e\in Y)</math>
* schéma existence tříd: <math>(\exists Z)(\forall e)(e\in Z \Leftrightarrow \Phi)</math> kde <math>\Phi</math> je formule v níž jsou kvantifikovány pouze množinové proměnné
* axiom dvojice: <math>(\forall x,y)(\exists z)(\forall e)(e \in z \Leftrightarrow (e=x \vee e=y))</math>
* axiom nahrazení: <math>(\forall F)((\forall y,e_1,e_2)(((y,e_1) \in F \land (y,e_2)\in F) \Rightarrow e_1=e_2) \Rightarrow (\forall x)(\exists z)(\forall e)(e\in z \Leftrightarrow (\exists y)(y \in x \land (y,e)\in F)))</math>

Nutno dodat, že schéma existence tříd je možné nahradit konečně mnoha jednotlivými [[axiom]]y. V důsledku toho je '''NBG''' konečně axiomatizovatelná (na rozdíl od '''ZF''').

== Související články ==
* [[Teorie množin]]
* [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin]]
* [[Kelleyova-Morseova teorie množin]]

{{Teorie množin}}
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Axiomy a axiomatizace teorie množin|*]]