Zobrazení zdroje stránky Výrok (logika)

'''Výrok''' je základní [[pojem]] [[Logika|logiky]]. Většinou se definuje jako tvrzení, u kterého má smysl  mluvit o [[Pravdivostní ohodnocení|pravdivosti]]. Avšak není nutné, aby byla hodnota pravdivosti zjistitelná. O výroku, pro který lze o pravdivosti [[Rozhodnutelnost|rozhodnut]] a zároveň je pravdivý říkáme, že je [[Dokazatelnost|dokazatelný]]. 

== Definice ==
Výrok je tvrzení, o němž má smysl prohlásit, zda je pravdivé či nepravdivé.<ref name=":1">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Duží
| jméno = Marie
| odkaz na autora = Marie Duží
| titul = Logika pro informatiky
| url = https://www.cs.vsb.cz/duzi/Matlogika_ESF_Definite.pdf
| vydavatel = VŠB-TU Ostrava
| místo = Ostrava
| datum vydání = 2012
| datum přístupu = 2025-02-13
| kapitola = Sémantický výklad výrokové logiky
| strany = 14
| isbn = 978-80-248-2662-2
}}</ref> 


Výrok se běžně týká entit exaktního světa (jako je matematika). Jazyk výroku bývá umělý formální jazyk. Použití entit reálného světa může vést k nejasnostem a chybám.{{Poznámka|Viz tento příklad M. Duží:<ref name="priklad">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Duží
| jméno = Marie
| odkaz na autora = Marie Duží
| titul = Logika pro informatiky
| url = https://www.cs.vsb.cz/duzi/Matlogika_ESF_Definite.pdf
| vydavatel = VŠB-TU Ostrava
| místo = Ostrava
| datum vydání = 2012
| datum přístupu = 2025-02-13
| kapitola = Úvod
| strany = 8
| isbn = 978-80-248-2662-2
}}</ref>
<br/>
Tak např. následující úsudek je evidentně nesprávný: <br/>
Jan Švejnar kandiduje na prezidenta České republiky. <br/>
Prezident České republiky je manžel Livie Klausové. <br/>
----
Jan Švejnar kandiduje na manžela Livie Klausové.}}<ref> Křemen, J.: '' Nový pohled na možnosti automatizovaného (počítačového) odvozování. Slaboproudý obzor. Roč. 68 (2013), č. 1., str. 7 – 11. '' https://web.archive.org/web/20150518082054/http://www.slaboproudyobzor.cz/files/20130102.pdf</ref>

Ve formální logice je důležitým pojem [[dedukce]] (úsudku), tedy proces, kdy z množiny [[Premisa|premis]] (předem daných výroků) jsou odvozeny nové výroky, která z předpokladu pravdivosti premis, jsou taky pravdivé. <ref name="dedukce">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Duží
| jméno = Marie
| odkaz na autora = Marie Duží
| titul = Logika pro informatiky
| url = https://www.cs.vsb.cz/duzi/Matlogika_ESF_Definite.pdf
| vydavatel = VŠB-TU Ostrava
| místo = Ostrava
| datum vydání = 2012
| datum přístupu = 2025-02-13
| kapitola = Úvod
| strany = 5-8
| isbn = 978-80-248-2662-2
}}</ref>

[[Hypotéza]] (domněnka) je výrok, u něhož v daném okamžiku nejsme schopni rozhodnout, zda je pravdivý, či nepravdivý, ale víme jistě, že jedna z těchto dvou možností nastane.{{Doplňte zdroj}}

Výroku může být přiřazena pravdivostní hodnota.<ref name=":0">{{Citace monografie
| příjmení = Polák
| jméno = Josef
| titul = Středoškolská matematika v úlohách I
| url = https://www.worldcat.org/oclc/36882054
| vydání = 1
| vydavatel = Prometheus
| místo = Praha
| počet stran = 344
| isbn = 80-7196-021-7
| isbn2 = 978-80-7196-021-8
| oclc = 36882054
}}</ref> Většinou dvouhodnotová pravda-nepravda, ale může být definovaná i jinak. Například ve [[Fuzzy logika|Fuzzy logice]] jde o jakékoliv [[Reálné číslo|číslo]] z [[Interval (matematika)|intervalu]] <math display="inline">\langle 0; 1\rangle</math>.<ref>{{cite book |last1=Novák, V. |last2=Perfilieva, I. |last3=Močkoř, J.  |title=Mathematical principles of fuzzy logic |date=1999 |publisher=Kluwer Academic |location=Dordrecht |isbn=978-0-7923-8595-0 }}</ref>

Pokud zápis obsahuje jednu nebo více [[Proměnná|proměnných]] (např.  <math>x<5</math>), není to výrok, ale [[Predikát (logika)|predikát]] či výroková forma (viz [[predikátová logika]]). Výrokem se stane dosazením hodnot všem proměnným či jejich kvantifikováním.<ref>{{Citace monografie
| autor = kolektiv autorů
| titul = Aplikovaná matematika
| vydavatel = SNTL
| místo = Praha
| počet stran = 2386
| edice = Oborové encyklopedie SNTL
| strany = 2172
| jazyk = cs
| rok = 1978
}}</ref><ref>{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Pick
| jméno = L.
| příjmení2 = Rokyta
| jméno2 = M.
| příjmení3 = Tůma
| jméno3 = J.
| titul = Úvodní kurs ze základů matematiky
| url = https://kam.mff.cuni.cz/~mikina/materialy/uvodni_tyden_4.pdf
| datum přístupu = 2020-12-09
| jazyk = cs
| datum = 2012-09-27
}}</ref>

== Typy výroků ==

;Jednoduchý (atomický) výrok
Jednoduché (atomické nebo elementární) výroky jsou výroky, které neobsahují logické spojky. (např. „''Plocha čtverce je rovna druhé mocnině délky jeho strany.''“, „''79 je [[prvočíslo]]''“).<ref name=":1" /> Jsou z logického hlediska dále nedělitelné a jsou prezentovány výrokovými proměnnými (nebo také výrokovými symboly). K označení se užívá malých písmen (např. <math>p, q</math>).<ref name=":1" />

;Složený výrok (formule)
Složené výroky jsou výroky, které vznikly z jednoduchých výroků použitím logických spojek.<ref name=":1" /> Značí se velkými písmeny  (např. <math>A, B</math>).

;Kvantifikovaný výrok
Kvantifikovaný výrok je takový výrok, který obsahuje [[kvantifikátor]]. Existují [[obecný kvantifikátor]] (symbol <math>\forall</math>) a [[Existenční kvantifikátor|existenční]] (symbol <math>\exists</math>).

;Splnitelná formule
Formule, která je pravdivá pro alespoň jeden prvek [[Univerzální množina|univerza]].<ref name="splnitelnost" />

;Tautologie
Formule, která je pravdivá pro všechny prvky univerza.<ref name="splnitelnost">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Duží
| jméno = Marie
| odkaz na autora = Marie Duží
| titul = Logika pro informatiky
| url = https://www.cs.vsb.cz/duzi/Matlogika_ESF_Definite.pdf
| vydavatel = VŠB-TU Ostrava
| místo = Ostrava
| datum vydání = 2012
| datum přístupu = 2025-02-13
| kapitola = Sémantické dokazování ve výrokové logice
| strany = 19
| isbn = 978-80-248-2662-2
}}</ref> Též se říká, že jsou [[analytická pravdivost|analyticky pravdivé]].<ref name="analyticka" /> Všechny pravdivé matematické věty jsou analyticky pravdivé výroky.<ref name="analyticka">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Duží
| jméno = Marie
| odkaz na autora = Marie Duží
| titul = Logika pro informatiky
| url = https://www.cs.vsb.cz/duzi/Matlogika_ESF_Definite.pdf
| vydavatel = VŠB-TU Ostrava
| místo = Ostrava
| datum vydání = 2012
| datum přístupu = 2025-02-13
| kapitola = Úvod
| strany = 8
| isbn = 978-80-248-2662-2
}}</ref>

;Kontradikce
Formule, která je nepravdivá pro všechny prvky univerza.<ref name="splnitelnost" /> Též se mluví o sporné množině formulí.<ref name="analyticka" /> Vyplívá z ní jakýkoliv a každý závěr.<ref name="cokoliv">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Duží
| jméno = Marie
| odkaz na autora = Marie Duží
| titul = Logika pro informatiky
| url = https://www.cs.vsb.cz/duzi/Matlogika_ESF_Definite.pdf
| vydavatel = VŠB-TU Ostrava
| místo = Ostrava
| datum vydání = 2012
| datum přístupu = 2025-02-13
| kapitola = Úvod
| strany = 8
| isbn = 978-80-248-2662-2
}}</ref>

;Empirický výrok
Výrok vypovídající o reálném světě, může být jak pravdivý, tak nepravidivý.<ref name="analyticka" />

== Logické spojky ==
{{Viz též|Negace|Konjunkce (logika)|Disjunkce|Implikace|Ekvivalence (logika)}}
;Negace
Negace <math>p</math> výroku  je výrok <math>\lnot p</math>, ten má opačnou pravdivostní hodnotu než výrok <math>p</math>. Slovně: „''není pravda, že...''“.<ref name="spojky">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Duží
| jméno = Marie
| odkaz na autora = Marie Duží
| titul = Logika pro informatiky
| url = https://www.cs.vsb.cz/duzi/Matlogika_ESF_Definite.pdf
| vydavatel = VŠB-TU Ostrava
| místo = Ostrava
| datum vydání = 2012
| datum přístupu = 2025-02-13
| kapitola = Sémantický výklad výrokové logiky
| strany = 15-19
| isbn = 978-80-248-2662-2
}}</ref> 

;Konjunkce
[[konjunkce (matematika)|Konjunkce]] (někdy logické násobení) <math>\textstyle p \land r</math>, slovně „''<math>p</math> a současně <math>r</math>''“. Je-li konjunkce dvou výroků pravdivá, pak obě její části musí být pravdivé. Je-li konjunkce dvou výroků nepravdivá, pak alespoň jedna její část je nepravdivá.<ref name="spojky" />

;Disjunkce
[[Disjunkce]] neboli alternativa (někdy logické sčítání) <math>\textstyle p \lor r</math>, slovně „''<math>p</math> nebo <math>r</math>''“. Je-li disjunkce dvou výroků nepravdivá, pak obě její části musí být nepravdivé. Je-li disjunkce dvou výroků pravdivá, pak alespoň jedna její část musí být pravdivá.<ref name="spojky" />

;Implikace
[[implikace|Iimplikace]] <math>p \supset r</math> či <math>p \Rightarrow r</math>, slovně „''jestliže <math>p</math>, potom (pak) <math>r</math>''“. Je-li implikace  dvou výroků nepravdivá, pak její první člen je pravdivý a druhý nepravdivý.<ref name="spojky" />

;Ekvivalence
[[ekvivalence (logika)|Ekvivalence]] <math>p \equiv r</math> či <math>p \Leftrightarrow r</math>, slovně „''<math>p</math> právě tehdy, když <math>r</math>''“, nebo „''<math>p</math> tehdy a jen tehdy <math>r</math>''“. Je-li ekvivalence dvou výroků pravdivá, znamená to, že oba její členy jsou pravdivé, nebo oba nepravdivé, tj. mají stejnou pravdivostní hodnotu. Je-li ekvivalence dvou výroků nepravdivá, pak její členy nabývají různých pravdivostních hodnot.<ref name=":0" /><ref name="spojky" />

=== Méně běžné spojky ===
Kromě výše uvedených se v počítačové technice používají i další spojky:
* XOR (z angl. ''exclusive OR''), viz [[exkluzivní disjunkce]]<ref>{{MathWorld|XOR|XOR}}</ref>
* NAND (z angl. ''not AND''; negace konjunkce), viz [[hradlo NAND]]<ref>{{MathWorld|NAND|NAND}}</ref>
* NOR, (z angl. ''not OR,'' negace disjunkce), viz [[hradlo NOR]]<ref>{{MathWorld|NOR|NOR}}</ref>

== Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků ==
Pravdivost složeného výroku je dána pravdivostní hodnotou jeho částí (výroků) a logickými spojkami, které jsou v něm obsaženy.

[[Pravdivostní tabulka]] pro negaci, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci dvou výroků:<ref>{{Citace elektronické monografie
 | titul = Pravdivostní tabulka
 | vydavatel = Aristoteles.cz
 | datum_přístupu = 2013-10-02
 | url = http://www.aristoteles.cz/matematika/booleova_algebra/pravdivostni-tabulka.php
}}</ref>

{| class="wikitable"
! <math>p</math>!! <math>r</math>!! <math>\lnot p</math>!! <math>\lnot r</math>!! <math>\textstyle p \land r</math>!! <math>\textstyle p \lor r</math>!! <math>p \supset r</math>!! <math>p \equiv r</math>
|-
| 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
|-
| 0 || 1 || 1 || 0 ||  0 || 1 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1
|}
=== Pravdivost celé formule ===
Spojení výroků (celou formuli) lze vyhodnotit analogicky. Pokud existuje formule <math>(p\supset q)\land r</math>, tak ve chvíli, kdy vyhodnotíme formuli <math>(p\supset q)</math> například na pravdivá (<math>= 1</math>), tak dostáváme klasickou konjunkci <math>1\land r</math>, kterou už lze řešit (viz tabulka).

Postupnou aplikací nejjednodušších výrokových spojek lze získat výslednou pravdivostní hodnotu celé formule. Často se používá tzv. tabulková metoda<ref>{{Citace elektronického periodika
| příjmení = 
| jméno = Vydavatelství Nová média, s r o
| titul = Pravdivost formulí — Matematika.cz
| periodikum = matematika.cz
| url = https://matematika.cz/pravdivost-formuli
| datum přístupu = 2021-03-20
}}</ref> a [[Karnaughova mapa]].

== Odkazy ==
=== Poznámky ===
{{Poznámky}}
=== Reference ===
<references />

=== Literatura ===
* {{Citace elektronické monografie
| příjmení = Duží
| jméno = Marie
| odkaz na autora = Marie Duží
| titul = Logika pro informatiky
| url = https://www.cs.vsb.cz/duzi/Matlogika_ESF_Definite.pdf
| vydavatel = VŠB-TU Ostrava
| místo = Ostrava
| datum vydání = 2012
| datum přístupu = 2025-02-13
| kapitola = Sémantický výklad výrokové logiky
| strany = 14-33
| isbn = 978-80-248-2662-2
}}

=== Související články ===

* [[Predikátová logika]]

* [[Analytický soud]]
* [[Syntetický soud]]
* [[Logický obvod]]

=== Externí odkazy ===
*https://matematika.cz/vyroky {{Wayback|url=https://matematika.cz/vyroky |date=20210421041227 }}

{{Pahýl}}
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Logika]]
[[Kategorie:Filozofie jazyka]]