Zobrazení zdroje stránky Vícerozměrný integrál

'''Vícerozměrný integrál''' je a [[určitý integrál]] [[funkce reálné proměnné|reálné funkce]] [[funkce více proměnných|více proměnných]] na dané [[množina|množině]]. Zapisuje se <math> \int \cdots \int_\mathbf{M}\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n </math>, kde funkce <math>f(x_1,x_2,\ldots,x_n): \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}</math> se nazývá [[integrand]]<ref>{{Citace elektronické monografie
| titul = MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT
| url = https://www.umat.fekt.vut.cz/~hlinena/IMA1/Prednasky/skripta.pdf
| vydavatel = VUT
| místo = Brno
| datum přístupu = 2022-10-11
| strany = 145
}}</ref> a <math>\mathbf{M}\subset \mathbb{R}</math> je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na <math>\int_\mathbf{M}\!f(\mathbf{x})\,d^n\mathbf{x}.</math>

Vícerozměrný integrál je různý pojem od [[vícenásobný integrál]], tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.{{Poznámka|Příkladem budiž funkce<math>f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math>. Její dvojnásobné integrály <math display=>\int_{x=0}^1\left(\int_{y=0}^1 f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x = \frac{\pi}{4}</math> a <math display=>\int_{y=0}^1\left(\int_{x=0}^1 f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=-\frac{\pi}{4}</math>jsou různé. A tedy tato funkce není integrovatelná.<ref>{{Citace elektronické monografie
| autor = Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák
| titul = Herbář funkcí
| url = https://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/herbar_funkci.pdf
| vydavatel = VŠB TUO
| místo = Ostrava
| datum vydání = 2011
| datum přístupu = 2022-10-11
}}</ref>
}}

Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí [[Fubiniova věta|Fubiniovy věty]] a [[substituce souřadnic]].

== Definice ==

=== Motivace ===
[[Soubor:Volume under surface.png|vpravo|náhled|Dvojný integrál jako objem pod plochou.]]
Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.

=== Dvojný integrál na obdélníku ===
Pro <math>n > 1</math> mějme funkci <math>f:\mathbf I = \left \langle a_1, b_1 \right \rangle \times \left \langle a_2, b_2\right \rangle \times \cdots \times \left \langle a_n, b_n\right \rangle \subseteq \R^n \to \R^+</math>.

[[rozklad množiny|Rozdělíme-li]] každý z [[interval (matematika) |interval]]ů <math>\left \langle a_i, b_i \right \rangle</math> na konečnou množinu [[Disjunktní množiny|disjunktních]] [[podinterval]]ů <math>\left \langle a_{i,j}, b_{i,j} \right \rangle</math>, získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů <math>\mathbf I_j = \left \langle a_{1,j}, b_{1,j} \right \rangle \times \left \langle a_{2,j}, b_{2,j}\right \rangle \times \cdots \times \left \langle a_{n,j}, b_{n,j}\right \rangle</math>, pro které platí <math>I=I_1\cup I_2\cup \cdots \cup I_m</math>.

(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce <math>f</math>) na intervalu <math>I \subseteq \R^n</math> můžeme [[aproximace|aproximovat]] [[Riemannův součet|Riemannovým součtem]]:

:<math>\sum_{k=1}^m f(X_k)\, \operatorname{\sigma}(I_k)</math>,

kde{{mvar|X<sub>k</sub>}} jje prvek intervalu {{mvar|I<sub>k</sub>}} and {{math|σ(''I''<sub>''k''</sub>)}} je [[Míra (matematika)|míra]] intervalu {{mvar|I<sub>k</sub>}} (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů <math>\left \langle a_i, b_i \right \rangle</math>) .

Řekneme, že funkce {{mvar|f}} je '''Riemannovsky integrovatelná''', jestliže existuje [[Konečné číslo|konečná]] [[limita]] přes všechna dělení intervalu {{mvar|I}} na podintervaly míry maximálně {{mvar|δ}}:

<math>S=\lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(X_k)\, \operatorname{\sigma} (C_k)</math>.<ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|author-link=Walter Rudin|title=Principles of Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|url-access=registration|series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics|edition=3rd|publisher=McGraw–Hill|isbn=978-0-07-054235-8}}</ref>

Jestliže je {{mvar|f}} is Riemannovsky integrovatelná, tak {{mvar|S}} se nazývá ('''vícerozměrný''') '''Riemannův integral''' funkce {{mvar|f}} na intervalu {{mvar|I}} a píše se
:<math> \int \cdots \int_I\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n </math>.

=== Na měřitelné množině ===
Buď funkce <math>f</math> [[omezená funkce|omezená]] na neprázdné [[měřitelná množina|měřitelné množině]] <math>\mathbf{M} \subseteq \R^2</math>. Řekneme, že funkce <math>f</math> je na množině <math>\mathbf{M}</math> ([[Riemannův integrál|Riemannovsky]]) integrovatelná, je-li funkce <math>\mathbf{M} \cdot \chi_\mathbf{M}</math> definovaná předpisem
<math>\left ( \mathbf{M} \cdot \chi_\mathbf{M} \right ) \left (x_1,x_2,\ldots,x_n \right ) =
\begin{cases} 
f \left (x_1,x_2,\ldots,x_n \right ),  & \mbox{pro }x \in \mathbf{M} \\
0,  & \mbox{pro }x \in \R  \smallsetminus \mathbf{M} 
\end{cases}</math>{{Poznámka|<math>\mathbf{M} \cdot \chi_\mathbf{M}</math> je definována v celém <math>\R^n</math>.<ref name=":0" />}}

integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu <math>\mathbf{J} \subseteq \R^n</math> takovém, že <math>\mathbf{M} \subseteq \mathbf{J}</math>.

Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce <math>f</math> na množině <math>\mathbf{M}</math> pak rozumíme číslo <math>\int \cdots \int_\mathbf{M}\, f\left (x_1,x_2,\ldots,x_n\right )\,dx_1 \!\cdots dx_n = \int \cdots \int_\mathbf{J}\, \left ( \mathbf{M} \cdot \chi_\mathbf{M} \right )f\left (x_1,x_2,\ldots,x_n\right )\,dx_1 \!\cdots dx_n</math>.<ref name=":0">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Vodstrčil
| jméno = Petr
| příjmení2 = Bouchala
| jméno2 = JIří
| titul = INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
| url = https://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/integralni_pocet.pdf
| vydavatel = Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni
| datum vydání = 13. června 2012
| datum přístupu = 2022-11-11
| kapitola = 1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině
| strany = 11
}}</ref>
{{Poznámka|Tato definice nezávisí na volbě intervalu <math>\mathbf{J}</math> takového, že <math>\mathbf{M} \subseteq \mathbf{J}^n</math>.<ref name=":0" />}}

Pro prázdnou množinu definujeme <math>\int \cdots \int_\empty \, f\left (x_1,x_2,\ldots,x_n\right )\,dx_1 \!\cdots dx_n = 0</math> pro každou funkci <math>f: \R^n \to \R</math>.<ref name=":0" />

== Speciální případy ==
V případě, že {{nowrap|<math>M \subseteq \R^2</math>,}} tak <math>\iint_M f(x,y)\, dx\, dy</math> se nazývá '''dvojný integrál''' funkce {{mvar|f}} na {{mvar|M}}, dále pro <math>M \subseteq \R^3</math> je <math>\iiint_M f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz</math> '''trojný integrál''' funkce {{mvar|f}} na {{mvar|M}}.

== Vlastnosti ==
Většinu vlastností má vícerozměrný integrál stejné jako jednorozměrný [[určitý integrál]]. Mezi nimi [[Lineární zobrazení|linearitu]], [[Komutativita|komutativitu]].

Důležitou vlastností je, že hodnota vícenásobného integrálu nezávisí na pořadí integrace. Toto je známo jako [[Fubiniova věta]].

=== Podmínky integrovatelnosti ===
Je-li funkce <math>f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}</math> spojitá v uzavřeném intervalu <math>\mathbf{J} \subseteq \R^n</math>, pak existuje <math>\iint_M f(x,y)\, dx\, dy</math>.<ref name="na_int">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Vodstrčil
| jméno = Petr
| příjmení2 = Bouchala
| jméno2 = JIří
| titul = INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
| datum přístupu = 2022-11-11
| kapitola = 1.2 Dvojný integrál na intervalu
| strany = 5
}}</ref>

== Aplikace ==
{{Podrobně|Aplikace integrálu}}
Mezi aplikace vícerozměrného integrálu patří výpočet objemu, hmotnosti a umístění [[těžiště]]. Dále například výpočet [[energie]] [[Fyzikální pole|fyzikálního pole]].

== Poznámky ==
{{Poznámky}}

== Reference ==
{{Překlad|en|Multiple integral|1106901139}}<references />

== Související články ==
* [[parciální derivace]]
* [[Diferenciál (matematika)|diferenciál]]
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Integrální počet]]