Zobrazení zdroje stránky Válec

{{Různé významy|tento=[[Geometrie|geometrickém]] objektu}}
'''Válec''' je v prostorové [[Geometrie|geometrii]] [[těleso]], vymezené dvěma rovnoběžnými podstavami a pláštěm. Plášť je rozvinutelná plocha, všechny povrchové (tvořící) přímky pláště jsou rovnoběžné a pokud jsou k podstavám [[Ortogonalita|kolmé]], hovoříme o '''kolmém válci'''. V opačném případě se jedná o '''válec kosý'''. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá ''výška válce''. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště (tj. podél povrchové přímky) se nazývá ''strana válce''.

Je-li podstavou [[Kruh (geometrie)|kruh]], pak válec označíme jako '''kruhový'''. Kolmý kruhový válec nazýváme '''rotačním válcem'''. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme ''[[osa rotace|osou rotace]]''.
[[Soubor:Cylinder geometry.svg|náhled|upright=0.6|Rotační válec, ''r'' je poloměr a ''h'' je výška.]]

== Rotační válec ==
Nejčastěji se válcem rozumí rotační válec, kolmý válec, jehož podstavou je kruh. Má také řadu [[válec (rozcestník)|různých aplikací]].

=== Vlastnosti ===
* Pro [[objem]] rotačního válce platí
:<math>V = \pi  r^2 h\,\implies\,h=V/(\pi  r^2)</math>
kde <math>r</math> je [[poloměr]] podstavy a <math>h</math> je výška válce.
* [[Obsah]] pláště rotačního válce je
:<math>Q = 2\pi  r h\,</math>, obsah podstavy je
:<math>P = \pi  r^2\, </math>
Pro obsah celého povrchu rotačního válce pak platí
:<math>S = 2\pi  r(r+h)\,</math>
* Obecný řez válce rovinou je elipsa, je-li rovina kolmá k jeho ose, je to kružnice a je-li s osou rovnoběžná, je to obdélník nebo přímka.
* Označíme-li si na podstavě válce libovolný bod (kromě středu) a pak [[valivý pohyb|valíme]] válec po [[rovina|rovině]], pak označený bod opisuje [[cykloida|cykloidu]].

== Válcová plocha a prostor ==
[[Soubor:valcovy_prostor.svg|náhled|upright=0.9|Válcový prostor a plocha.]]
Jednoduchou představu rotačního válce lze rozšířit a zobecnit. Mějme jednoduchou uzavřenou [[křivka|křivku]] <math>k</math>, která leží v [[rovina|rovině]]. Body, které leží na vzájemně [[rovnoběžky|rovnoběžných přímkách]] procházejících libovolným bodem křivky <math>k</math>, tvoří '''válcovou plochu'''. Část [[prostor (geometrie)|prostoru]] ohraničená válcovou plochou se nazývá '''válcový prostor'''.

=== Rovnice ===
'''Válcová plocha''' ('''[[kvadratická plocha|kvadratický]] válec''') bývá označována podle ''[[řídící křivka|řídící křivky]]''.
[[Soubor:valec_obecny.svg|náhled|upright=0.9|Obecný válec]]

==== Eliptický kvadratický válec ====
Eliptický kvadratický válec lze vyjádřit [[rovnice|rovnicí]]
:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>

Řídící křivkou eliptického válce je [[elipsa]] ležící v rovině <math>z=0</math> s rovnicí <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> a ''[[tvořící přímka|tvořící přímky]]'' válce jsou [[rovnoběžky|rovnoběžné]] s osou <math>z</math>.

Pro <math>a=b</math> se jedná o rotační válec s osou rotace <math>z</math>.

==== Hyperbolický kvadratický válec ====
Hyperbolický kvadratický válec lze vyjádřit [[rovnice|rovnicí]]
:<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>

Řídící křivkou hyperbolického válce je [[hyperbola]] ležící v [[rovina|rovině]] <math>z=0</math> s [[rovnice|rovnicí]] <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math> a [[tvořící přímka|tvořící přímky]] válce jsou [[rovnoběžky|rovnoběžné]] s osou <math>z</math>.

==== Parabolický kvadratický válec ====
Parabolický kvadratický válec lze vyjádřit [[rovnice|rovnicí]]
:<math>y^2=2px</math>

Řídící křivkou parabolického válce je [[Parabola (matematika)|parabola]] ležící v rovině <math>z=0</math> s rovnicí <math>y^2=2px</math> a [[tvořící přímka|tvořící přímky]] válce jsou [[rovnoběžky|rovnoběžné]] s osou <math>z</math>.

==== Obecný válec ====
Obecnou válcovou plochu, jejíž řídící křivka leží v rovině <math>z=0</math> a má [[rovnice|rovnici]] <math>f(x,y)=0</math>, a její tvořící přímky jsou [[rovnoběžky|rovnoběžné]] s osou <math>z</math>, lze zapsat rovnicí
:<math>f(x,y)=0</math>

Obecně lze říci, že pokud v rovnici plochy chybí jedna z [[proměnná|proměnných]], pak se jedná o rovnici válcové plochy, jejíž tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou, která odpovídá chybějící proměnné, a jejíž řídící křivka má stejnou rovnici jako daná plocha a leží v rovině [[Ortogonalita|kolmé]] k tvořícím přímkám.

Jsou-li tvořící přímky rovnoběžné s [[vektor]]em <math>(a_1,a_2,a_3)</math>, pak lze rovnici válcové plochy převést na tvar
:<math>F(a_3 x-a_1 z, a_3 y-a_2 z) = 0</math>

== Vlastnosti ==
[[Objem]] válce určíme ze vztahu
:<math>V = Sh</math>,
kde <math>S</math> je [[obsah]] podstavy a <math>h</math> je hloubka válce.

[[Obsah]] povrchu válce je dán vztahem
:<math>P = 2S+Q</math>,
kde <math>S</math> je obsah podstavy a <math>Q</math> je obsah pláště válce.

== Odkazy ==

=== Literatura ===
* ''Ottův slovník naučný'', heslo Válec. Sv. 26, str. 351

=== Související články ===
* [[Geometrický útvar]]
* [[Kvadratická plocha]]
* [[Oblá tělesa]]
* [[Mnohostěn]]
* [[Kruh (geometrie)|Kruh]]
* [[Válcová soustava souřadnic]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=válec}}
* [https://web.archive.org/web/20141009113911/http://www.mathguide.com/lessons/SurfaceArea.html#cylinders Povrch válce] na MATHguide
* [https://web.archive.org/web/20141009114334/http://www.mathguide.com/lessons/Volume.html#cylinders Objem válce] na MATHguide
* [http://www.mathsisfun.com/geometry/cylinder.html Spinning Cylinder] na Math Is Fun
* [http://www.mathopenref.com/cylindervolume.html Objem válce] animace na Math Open Reference
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CutCylinder.shtml Řez válcem]
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Oblá tělesa]]
[[Kategorie:Plochy]]
[[Kategorie:Kvadriky]]