Zobrazení zdroje stránky Univerzální vlastnost

'''Univerzální vlastnost''' je v [[Matematika|matematice]] v [[Teorie kategorií|teorii kategorií]] vlastnost, která charakterizuje výsledek určitých konstrukcí ([[až na]] [[izomorfismus]]). Univerzální vlastnost lze díky tomu použít pro definici určitých objektů nezávisle na metodě použité pro jejich konstrukci. Například definice [[Celé číslo|celých čísel]] z [[Přirozené číslo|přirozených čísel]], [[Racionální číslo|racionálních čísel]] z celých čísel, [[Reálné číslo|reálných čísel]] z racionální čísel a [[Polynomiální okruh|okruhů polynomů]] z [[Komutativní těleso|těles]] jejich koeficientů mohou být všechny provedeny z hlediska univerzálních vlastností. Konkrétně koncept univerzální vlastnosti umožňuje jednoduchý důkaz, že všechny [[konstrukce reálných čísel]] jsou ekvivalentní: stačí dokázat, že vyhovují stejné univerzální vlastnosti.

Technicky je univerzální vlastnost definována v pojmech [[Kategorie (matematika)|kategorií]] a [[funktor]]ů pomocí '''univerzálního morfismu''' (viz [[#Formální definice|Formální definice]] níže). Univerzální morfismy bychom také mohli uvažovat abstraktněji jako [[Iniciální a terminální objekt|iniciální nebo terminální objekty]] [[Čárková kategorie|čárkové kategorie]] (viz [[#Souvislost s čárkovými kategoriemi|Souvislost s čárkovými kategoriemi]] níže).

Univerzální vlastnosti se v matematice objevují skoro všude a použití tohoto konceptu umožňuje použití obecných vlastností univerzálních vlastností pro snadné důkazy některých vlastností, které by se jinak dokazovaly obtížně nebo zdlouhavě. Je-li například dán [[komutativní okruh]] {{Mvar|R}}, [[podílové těleso]] [[faktorokruh]]u okruhu {{Mvar|R}} podle [[Prvoideál (teorie okruhů)|prvoideálu]] {{Mvar|p}} lze identifikovat s [[Těleso zbytkových tříd|tělesem zbytkových tříd]] [[lokalizace (komutativní algebra)|lokalizace]] okruhu {{Mvar|R}} v {{Mvar|p}}; což je <math>R_p/pR_p\cong \operatorname {Frac}(R/p)</math> (všechny tyto konstrukce lze definovat pomocí univerzálních vlastností).

K dalším objektům, které lze definovat univerzálními vlastnostmi, patří: všechny [[Volný objekt|volné objekty]], [[přímý součin|přímé produkty]] a [[přímý součet/suma|přímé součty]], [[Volná grupa|volné grupy]], [[Volný svaz|volné svazy]], [[Grothendieckova grupa|Grothendieckovy grupy]], [[Úplný metrický prostor|zúplnění metrického prostoru]], [[zúplnění okruhu]], [[Dedekindovo–MacNeillovo zúplnění]], [[Součinová topologie|součinové topologie]], [[Stoneova–Čechova kompaktifikace]], [[Tenzorový součin|tenzorové součiny]], [[Inverzní limita|inverzní limity]] a [[Přímý limita|přímé limity]], [[Jádro (lineární algebra)|jádra]] a [[cokernel]]y, [[Faktorová grupa|faktorové grupy]], [[Kvocientní vektorový prostor|kvocientní vektorové prostory]] a jiné [[Kvocientní prostor (zjednoznačnění)|kvocientní prostory]].

== Motivace ==
Před uvedením formální definice univerzální vlastnosti uvedeme některé motivace pro studium takových konstrukcí.

* Konkrétní detaily dané konstrukce mohou být komplikované, ale, pokud konstrukce splňuje univerzální vlastnost, můžeme zapomenout na všechny tyto detaily: je třeba znát o konstrukce je už obsahoval v univerzální vlastnost. Důkazy často se stane krátký a elegantní, pokud univerzální vlastnost se používá místo konkrétní detaily. Například [[Tenzorová algebra|tenzorovou algebru]] [[Vektorový prostor|vektorového prostoru]] je nepatrně složitější zkonstruovat, ale je mnohem snazší s nimi pracovat díky jeho univerzální vlastnosti.
* Univerzální vlastnosti definuje objekty jednoznačně [[až na]] jediný [[izomorfismus]].{{Sfn|Jacobson|2009|loc=Proposition 1.6, p. 44}} Proto jednou strategií, jak dokázat, že dva objekty jsou izomorfní, je ukázat, že vyhovují stejné univerzální vlastnosti.
* Univerzální konstrukce jsou svou povahou funktoriální: pokud můžeme provést konstrukci pro každý objekt v kategorii ''C'', pak dostáváme [[funktor]] na ''C''. Tento funktor je navíc [[Adjungovaný funktor|pravým nebo levým adjunktem]] funktoru ''U'' použitého v definici univerzální vlastnosti.{{Sfn|Milies|Sehgal|2002|loc=p. 133, exercise 1, about the universal property [[Grupový okruh|group rings]]}}
* Univerzální vlastnosti se objevují všude v matematice. Porozuměním jejich abstraktním vlastnostem dostáváme informace o všech těchto konstrukcích a můžeme se vyhnout opakování stejné analýzy pro každou jednotlivou instanci.

== Formální definice ==
Pro pochopení definice univerzální konstrukce, je důležité se podívat na příklady. Univerzální konstrukce byly ne definovaný z tenké vzduch, ale byly spíše definovaný, když si matematici začali všímat určitého vzoru v mnoha matematických konstrukcích (viz Příklady níže). Definice nám tedy nemusí dávat smysl napoprvé, ale stane se jasnou, když se uvede v soulad s konkrétními příklady.

Nechť <math>F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> je funktor mezi kategoriemi <math>\mathcal{C}</math> a <math>\mathcal{D}</math>. Dále nechť <math>X</math> je objekt z <math>\mathcal{D}</math>, <math>A</math> a <math>A'</math> jsou objekty z <math>\mathcal{C}</math>, a <math>h: A \to A'</math> je morfismus v <math>\mathcal{C}</math>.

Pak funktor <math>F</math> převádí <math>A</math>, <math>A'</math> a <math>h</math> v <math>\mathcal{C}</math> na <math>F(A)</math>, <math>F(A')</math> a <math>F(h)</math> v <math>\mathcal{D}</math>.

'''Univerzální morfismus z <math>X</math> do <math>F</math>''' je jedinečná dvojice <math>(A, u: X \to F(A))</math> v <math>\mathcal{D},</math> která má následující vlastnost, obvykle označovanou jako '''univerzální vlastnost''':

Pro libovolný morfismus tvaru
<math>f: X \to F(A')</math> v <math>\mathcal{D}</math>, existuje ''jediný'' morfismus <math>h: A \to A'</math> v <math>\mathcal{C}</math> takový, že následující diagram [[Komutativní diagram|komutuje]]:
[[Soubor:Universal morphism definition.svg|vpravo|Typický diagram definice univerzálního morfismu.]]

{{Kotva|Terminální morfismus}}
Tento kategoriální koncept můžeme [[Duální (teorie kategorií)|dualizovat]]. '''Univerzální morfismus z <math>F</math> do <math>X</math>''' je jediná dvojice <math>(A, u: F(A) \to X),</math> která vyhovuje následující univerzální vlastnosti:

Pro libovolný morfismus tvaru <math>f: F(A') \to X</math> v <math>\mathcal{D}</math> existuje ''jediný'' morfismus <math>h: A' \to A</math> v <math>\mathcal{C}</math> takový, že následující diagram komutuje:

[[Soubor:Universal definition dualized.svg|vpravo|Nejdůležitější šipka zde je <math>u: F(A) \to X,</math> která vytváří univerzální vlastnost.]]
Všimněte si, že v druhém diagramu jsou šipky obrácené. Obě definice jsou nezbytné pro popis univerzálních konstrukcí, které se vyskytují v matematice; ale také se objevují kvůli inherentní dualitě přítomné v teorii kategorií.
V obou případech říkáme, že dvojice <math>(A, u),</math> která se chová, jak je uvedeno výše, splňuje univerzální vlastnost.

== Příklady ==

=== Produkty ===
[[Produkt (teorie kategorií)|Kategoriální součin]] lze charakterizovat univerzální konstrukcí. Konkrétně můžeme uvažovat [[kartézský součin]] v '''[[Kategorie množin|Set]]''', [[přímý součin]] v '''[[Kategorie grup|Grp]]''' nebo [[Součinová topologie|součinovou topologii]] v '''[[Kategorie topologických prostorů|Top]]''', kde existují produkty.

Nechť <math>X</math> a <math>Y</math> jsou objekty kategorie <math>\mathcal{C}</math> s konečnými produkty. Součin <math>X</math> a <math>Y</math> je objekt <math>X</math> × <math>Y</math> spolu s dvěma morfismy
:<math>\pi_1</math> : <math>X \times Y \to X</math>
:<math>\pi_2</math> : <math>X \times Y \to Y</math>
takovými, že pro libovolný jiný objekt <math>Z</math> z <math>\mathcal{C}</math> a morfismy <math>f: Z \to X</math> a <math>g: Z \to Y</math> existuje jediný morfismus <math>h: Z \to X \times Y</math> takový, že <math>f = \pi_1 \circ h</math> a <math>g = \pi_2 \circ h</math>.

Pro pochopení této charakterizace jako univerzální vlastnosti uvažujme kategorii <math>\mathcal{D}</math> jako [[Produktová kategorie|produktovou kategorii]] <math>\mathcal{C} \times \mathcal{C}</math> a definujme [[diagonální funktor]]
: <math>\Delta: \mathcal{C} \to \mathcal{C} \times \mathcal{C}</math>
vztahy <math>\Delta(X) = (X, X)</math> a <math>\Delta(f: X \to Y) = (f, f)</math>. Pak <math>(X \times Y, (\pi_1, \pi_2))</math> je univerzální morfismus z <math>\Delta</math> do objektu <math>(X, Y)</math> z <math>\mathcal{C} \times \mathcal{C}</math>: pokud <math>(f, g)</math> je libovolný morfismus ze <math>(Z, Z)</math> do <math>(X, Y)</math>, pak musí být roven
morfismu <math>\Delta(h: Z \to X \times Y) = (h,h)</math> z <math>\Delta(Z) = (Z, Z)</math>
do <math>\Delta(X \times Y) = (X \times Y, X \times Y)</math> následovanému <math>(\pi_1, \pi_2)</math>. Vyjádřeno komutativním diagramem:
[[Soubor:Universal-property-products.svg|vpravo|484x484px|Komutativní diagram ukazující, že produkty mají univerzální vlastnost.]] V případě kartézského součinu v '''Set''' je morfismus <math>(\pi_1, \pi_2)</math> tvořen dvěma projekcemi <math>\pi_1(x,y) = x</math> a <math>\pi_2(x,y) = y</math>. Je-li dána libovolná množina <math>Z</math> a unikátní zobrazení <math>f,g</math> takové, že požadovaný diagram komutuje, popisuje vztah <math>h = \langle x,y\rangle(z) = (f(z), g(z))</math>.{{Sfn|Fong|Spivak}}

== Historie ==
Univerzální vlastnosti různých topologických konstrukcí prezentoval [[Pierre Samuel]] v roce 1948. Později je široce používal [[Nicolas Bourbaki]]. Blízce příbuzný koncept adjungovaných funktorů představil nezávisle [[Daniel Kan]] v roce 1958.

== Odkazy ==

=== Poznámky ===
<references />

=== Reference ===
{{Překlad|en|Universal property|1210324883}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Cohn
 | jméno = Paul
 | titul = Universal Algebra
 | rok = 1981
 | vydavatel = D.Reidel Publishing
 | místo = Holland
 | isbn = 90-277-1213-1
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Mac Lane
 | jméno = Saunders
 | odkaz na autora = Saunders Mac Lane
 | titul = Categories for the Working Mathematician
 | vydání = 2
 | rok = 1998
 | edice = Graduate Texts in Mathematics 5
 | vydavatel = Springer
 | isbn = 0-387-98403-8
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Borceux
 | jméno = F.
 | titul = Handbook of Categorical Algebra: vol 1 Basic category theory
 | url = https://archive.org/details/handbookofcatego0000borc
 | rok = 1994
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | edice = Encyclopedia of Mathematics and its Applications
 | isbn = 0-521-44178-1
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | jméno = Nicolas
 | příjmení = Bourbaki
 | titul = Livre II : Algèbre
 | rok = 1970
 | vydavatel = Hermann
 | isbn = 0-201-00639-1
 | ref = harv
}}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Milies
 | jméno = César Polcino
 | příjmení2 = Sehgal
 | jméno2 = Sudarshan K.
 | titul = An introduction to group rings
 | edice = Algebras and applications, Volume 1
 | vydavatel = Springer
 | rok = 2002
 | isbn = 978-1-4020-0238-0
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Jacobson
 | titul = Basic Algebra II
 | vydavatel = Dover
 | rok = 2009
 | isbn = 0-486-47187-X
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Fong
 | jméno = Brendan
 | příjmení2 = Spivak
 | jméno2 = David I.
 | datum = 2018-10-12
 | titul = Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory
 | class = math.CT
 | eprint = 1803.05316
 | ref = harv
}}

=== Související články ===
* [[Volný objekt]]
* [[Přirozená transformace]]
* [[Adjungovaný funktor]]
* [[Monáda (teorie kategorií)]]
* [[Varieta algeber]]
* [[Kartézsky uzavřená kategorie]]

=== Externí odkazy ===
* [http://ncatlab.org/nlab nLab], wiki projekt o matematice, fyzice a filozofii s důrazem na ''n''-kategoriální pohled
* [[André Joyal]], [http://ncatlab.org/nlab CatLab], Wiki projekt pro prezentaci teorie kategorií
* {{Citace elektronické monografie
 | jméno = Chris
 | příjmení = Hillman
 | titul = A Categorical Primer
 | rok = 2001
 | citeseerx = 10.1.1.24.3264
 | url archivu = https://web.archive.org/web/19970503051012/http://www.math.washington.edu:80/~hillman/PUB/categorical.ps
 | datum archivace = 1997-05-03
 | url = http://www.math.washington.edu:80/~hillman/PUB/categorical.ps
 | poznámka = formální úvod do teorie kategorií
 | ref = harv
}}
* {{Citace elektronické monografie
 | jméno = Jiří
 | příjmení = Adámek
 | jméno2 = Horst
 | příjmení2 = Herrlich
 | jméno3 = George E.
 | příjmení3 = Strecker
 | titul = Abstract and Concrete Categories; The Joy of Cats
 | rok = 2004
 | url = http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf
 | url archivu = https://web.archive.org/web/20150421081851/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf
 | datum archivace = 2015-04-21
 | datum přístupu = 2020-09-19
 | ref = harv
}}
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: “[http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ Category Theory]“ – autor Jean-Pierre Marquis. Rozsáhlá bibliografie.
* [http://www.mta.ca/~cat-dist/ Seznam konferencí o teorii kategorií]
* Baez, John, 1996,“[http://math.ucr.edu/home/baez/week73.html The Tale of ''n''-categories.]“ Neformální úvod do kategorií vyššího řádu.
* [http://wildcatsformma.wordpress.com/ WildCats] – balíček pro systém [[Mathematica]] věnovaný [[Teorie kategorií|teorii kategorií]]. Manipulace a vizualizace objektů, [[Morfismus|morfismy]], kategorie, funktory, [[Přirozená transformace|přirozené transformace]], [[univerzální vlastnost]]i.
* [https://www.youtube.com/user/TheCatsters The catsters], YouTube kanál o teorii kategorií.
* [http://categorieslogicphysics.wikidot.com/events Video archive] záznamy přednášek o kategoriích, logice a základech fyziky.
* [https://web.archive.org/web/20080916162345/http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php Interaktivní stránka], která generuje příklady kategorických konstrukcí v kategorii konečných množin.

{{Teorie kategorií}}
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Teorie kategorií]]
[[Kategorie:Matematická terminologie|Vlastnost]]