Zobrazení zdroje stránky Ultrafiltr

'''Ultrafiltr''' je [[Matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie množin]].

== Definice ==
Je-li <math> X \,\! </math> [[množina]] a <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> její [[potenční množina]] (tj. množina všech jejích [[Podmnožina|podmnožin]]), pak řekneme, že neprázdná množina <math> F \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! </math> je '''ultrafiltr''', pokud platí: <br />
# <math> F \,\! </math> neobsahuje [[Prázdná množina|prázdnou množinu]]
# <math> A,B \isin F \implies A \cap B \isin F \,\! </math>
# <math> (A \isin F \land A \subseteq B) \implies B \isin F \,\! </math>
# <math> ( \forall A \isin \mathbb{P}(X)) (A \isin F \vee X-A \isin F) \,\! </math>

== Vysvětlení definice ==
Podle bodu 2 je '''ultrafiltr''' [[dolů usměrněná množina]], podle bodu 3 je to [[horní množina]] – jedná se tedy o [[Filtr (matematika)|filtr]] v [[Potenční algebra|potenční algebře]].<br />
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o [[vlastní filtr]] – '''ultrafiltr''' tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math><br />

Podle bodu 4 je v '''ultrafiltru''' obsažena podmnožina <math> A \subseteq X \,\! </math> nebo její doplněk <math> (X-A) \subseteq X \,\! </math>. Pokud by pro některou množinu <math> A \subseteq X \,\! </math> obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i <math> A \cap (X-A) = \emptyset \,\! </math> , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.<br />
Tato vlastnost tedy zaručuje, že '''ultrafiltr''' je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu [[Maximální a minimální prvek|maximální]] – jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.

Zjednodušeně řečeno, ultrafiltr „seká“ celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina – její doplněk vybírá právě jednu možnost.

== Příklady a vlastnosti ==

=== Triviální ultrafiltr ===
Za [[hlavní filtr]] považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny <math> A \subseteq X \,\! </math>, hlavní filtr určený množinou <math> A \,\! </math> tedy lze zapsat jako<br />
<math> F(A) = \{ B \subseteq X : A \subseteq B \} \,\! </math><br />
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry – jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou <math> A = \{a \} \,\! </math>, kde <math> a \isin X \,\! </math>. Tyto ultrafiltry jsou nazývány '''triviální ultrafiltry'''.

Na [[konečná množina|konečné množině]] je každý ultrafiltr triviální – celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny <math> X \,\! </math>.<br />
Na [[Nekonečná množina|nekonečné množině]] odpovídá počet triviálních ultrafiltrů [[mohutnost]]i množiny <math> X \,\! </math>.

=== Uniformní ultrafiltr ===
Ultrafiltr <math>\mathcal{U}</math> na množině ''X'' se nazývá '''uniformní''', má-li každá množina <math>A \in \mathcal{U}</math> [[mohutnost]] rovnou mohutnosti množiny ''X''. Zřejmě každý uniformní ultrafiltr je netriviální.

=== Základní věta o ultrafiltrech ===
Nabízí se otázka, zda na nekonečné množině existují nějaké netriviální ultrafiltry. Kladnou odpověď dává '''základní věta o ultrafiltrech''':<br />
''Každý [[centrovaný systém]] lze rozšířit do ultrafiltru.''

Protože filtr je speciálním případem centrovaného systému, lze podle této věty každý filtr rozšířit (přidáním nějakých dalších podmnožin) na ultrafiltr.
Vezmeme-li v úvahu například [[Fréchetův filtr]] a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.

Důkaz této věty podstatným způsobem používá [[princip maximality]] – větu nelze dokázat bez přijetí [[Axiom výběru|axiomu výběru]] nebo nějaké jeho obdoby.

=== Dualita s prvoideálem ===
Stejně jako u většiny pojmů z [[teorie uspořádání]], má i ultrafiltr svůj duální pojem – [[prvoideál (teorie uspořádání)|prvoideál]]. Ke každému ultrafiltru <math> F \,\! </math> existuje '''duální prvoideál''' – množina všech doplňků z <math> F \,\! </math>: <br />
<math> F^* = \{ X-A : A \isin F \} \,\! </math>

Vztah platí i opačně – množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr – '''duální ultrafiltr'''. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí<br />
<math> (F^*)^* = F \,\! </math>

== Související články ==
* [[Filtr (matematika)|Filtr]]
* [[Prvoideál (teorie uspořádání)|Prvoideál]]
* [[Fréchetův filtr]]
* [[Uniformní filtr]]
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Teorie uspořádání]]