Zobrazení zdroje stránky Tymošenkova teorie ohybu nosníku

'''Tymošenkova teorie ohybu nosníku''' (přepisem z [[ruština|ruštiny]] '''Timošenkova teorie''', též ''Bresseho-Tymošenkova teorie''<ref name="Elishakoff2009"/><ref name="Kohlhuber2012"/>) je teorie umožňující přibližně popsat [[ohyb]] [[nosník]]u. Teorie vychází ze dvou předpokladů o [[Deformace|deformaci]] nosníku:

* Příčné řezy nosníku, které byly před deformací nosníku [[Ortogonalita|kolmé]] na osu nosníku, zůstávají při deformování nosníku rovinné, ale ne nutně kolmé na osu nosníku.
* Rozměry příčných řezů nosníku se při deformaci nosníku nemění.

Na základě těchto předpokladů lze deformaci nosníku zcela popsat pomocí relativního posunutí a natočení průřezů nosníku. Od klasické [[Bernoulliho–Navierova hypotéza|Bernoulliho–Navierovy hypotézy]] [[ohyb]]u nosníku<ref name="Timoshenko1953"/><ref name="Bauchau2009"/><ref name="Mang2013"/> se Tymošenkova teorie liší odstraněním předpokladu o zachování kolmosti průřezů nosníku na osu nosníku. Díky tomu poskytuje Tymošenkova teorie přesnější popis deformace a namáhání nosníku, což se projevuje především v případech, kdy příčné rozměry nosníku nejsou zanedbatelně malé vůči rozměru podélnému nebo když [[frekvence]] příčného kmitání nosníku je natolik vysoká, že příčné rozměry nosníku již nejsou zanedbatelně malé vůči délce příčné vlny. Nevýhodou Tymošenkovy teorie, oproti teorii Eulerově-Bernoulliho, je vyšší počet deformačních charakteristik a tím i komplikovanější charakter řešení.

Přesnější popis ohybu nosníku, než poskytuje Tymošenkova teorie, nabízí teorie ohybu nosníku s méně omezujícími předpoklady o deformaci nosníku, např. [[Levinsonova teorie]]<ref name="Levinson1981"/> či [[Reddyho teorie|teorie Reddyho]]<ref name="Reddy1984"/>, popřípadě postupy založené na popisu deformace dvoj- či trojrozměrného [[kontinuum|kontinua]]<ref name="Love1906"/><ref name="Timoshenko1970"/>. Ekvivalentem Tymošenkovy teorie pro popis ohybu desek je [[Reissnerova-Mindlinova teorie|teorie Reissnerova-Mindlinova]].<ref name="Belytschko2014"/>

Teorie je pojmenována podle [[Stepan Tymošenko|Stepana Prokopovyče Tymošenka]], ukrajinského inženýra a profesora inženýrské mechaniky na [[Stanfordova univerzita|Stanfordově univerzitě]],<ref name="Gere"/> který je autorem knihy ''Kurs teorii uprugosti: Steržni i plastinki'' z roku [[1916]], kde je tato teorie popsána<ref name="Timoshenko1916"/>.

== Rovinný ohyb ==
V případě, že se nosník prohýbá v jedné rovině a nedochází ke kroucení nosníku, což platí například u [[Izotropní látka|izotropního]] nosníku se symetrickým průřezem, který je vystavený zatížení působícímu v rovině [[symetrie]], lze dle předpokladů teorie popsat posuv bodů nosníku pomocí vztahů
:<math> u(x,z,t) = u_0(x,t)+z\varphi(x,t)</math>
:<math> v(x,z,t) = 0</math>
:<math> w(x,z,t) = w(x,t)\,,</math>

kde <math>u</math> je posuv ve směru osy nosníku, <math>w</math> je průhyb nosníku a <math>v</math> je posuv ve směru kolmém na rovinu průhybu a osu nosníku, <math>u_0</math> je posuv ve směru osy nosníku na ose nosníku <math>x</math>, <math>z</math> je kolmá vzdálenost od osy nosníku měřená v rovině průhybu a <math>\varphi</math> je natočení průřezu nosníku kolem osy <math>y</math>.

=== Řídicí diferenciální rovnice ===
[[Diferenciální rovnice]] popisující chování nosníku a správný tvar okrajových podmínek lze odvodit pomocí [[D'Alembertův princip|d'Alembertova principu]]<ref name="Lanczos1986"/> pro deformovatelné těleso<ref name="Mang2013"/>. Podle něj pro těleso bez jednostranných vazeb v kterémkoli okamžiku platí, že součet [[práce]] vnitřních sil, vnějších sil a práce setrvačných sil vykonané na jakémkoli geometricky přípustném poli posunutí, jež nezávisí na čase a vztahuje se ke stavu tělesa v daném okamžiku, se rovná nule:

:<math>\delta W_{\mathrm{vnit\check{r}n\acute{\imath}}}+\delta W_{\mathrm{vn\check{e}j\check{s}\acute{\imath}}}+\delta W_{\mathrm{setrva\check{c}n\acute{e}}} = 0\,,</math>

kde <math>W</math> označuje práci a <math>\delta</math> označuje [[variace|variaci]], tj. hodnotu související s jakoukoli geometricky přípustnou deformací nosníku, popsanou pomocí libovolných geometricky přípustných posuvů <math>\delta u_0</math> a <math>\delta w</math> a natočení <math>\delta \varphi</math>.


V případě nosníku se spojitým příčným zatížením platí (zatížení na konci nosníku nemění tvar výsledných diferenciálních rovnic)
{{Vzorec|<math>\int\limits_L\int\limits_A\left(\sigma_{xx}\delta\varepsilon_{xx} + \tau_{xz}\delta\gamma_{xz}\right)\mathrm{d}A\mathrm{d}x~-\int\limits_L q\delta w~\mathrm{d}x~+\int\limits_L\int\limits_A\rho\left(\frac{{\partial}^2u}{\partial t^2}\delta u + \frac{{\partial}^2w}{\partial t^2}\delta w\right)\mathrm{d}x = 0\,,</math>|1}}
kde <math>\sigma_{xx}</math> je normálové napětí působící v průřezu nosníku, <math>\tau_{xz}</math> jsou smykové napětí působící v průřezu nosníku, <math>\varepsilon_{xx}</math> je poměrné délkové přetvoření, <math>\gamma_{xz}</math> je poměrné zkosení, <math>q</math> je spojité příčné zatížení nosníku, <math>\rho</math> je hustota materiálu, <math>A</math> je plocha průřezu a <math>L</math> je délka nosníku.

Pro poměrné délkové přetvoření (normálové inženýrské přetvoření) a poměrné zkosení (smykové inženýrské přetvoření) platí:{{Poznámka|Ostatní složky tenzoru inženýrských přetvoření, který popisuje poměrnou deformaci nekonečně malého elementu nosníku, jsou nulové.}}
:<math>\varepsilon_{xx}= \frac{\partial u(x,z,t)}{\partial x} = \frac{\partial u_0(x,t)}{\partial x}+z\frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial x}</math>
{{Vzorec|<math>\gamma_{xz}=  \frac{\partial u(x,z,t)}{\partial z}+\frac{\partial w(x,t)}{\partial x} = \varphi(x,t) + \frac{\partial w(x,t)}{\partial x}\,.</math>|2}}
Velikost smykového přetvoření podle Tymošenkovy teorie tedy nezávisí na poloze po průřezu nosníku.

Z rovnice ({{Odkaz na vzorec|1}}) lze po vyjádření přetvoření pomocí posuvů a [[integrace per partes]] odvodit
{{Vzorec|<math>
\begin{align}
& \int\limits_L\int\limits_A\left[\sigma_{xx}\frac{\partial(\delta u_0)}{\partial x}+z\sigma_{xx}\frac{\partial (\delta\varphi)}{\partial x}  + \tau_{xz}\left(\delta\varphi + \frac{\partial (\delta w)}{\partial x}\right)\right]\mathrm{d}A\mathrm{d}x - \int\limits_Lq\delta w~\mathrm{d}x + \int\limits_L\int\limits_A\rho\left(\frac{{\partial}^2u}{\partial t^2}\delta u + \frac{{\partial}^2w}{\partial t^2}\delta w\right)\mathrm{d}A\mathrm{d}x= \\
& \int\limits_L\left[N\frac{\partial(\delta u_0)}{\partial x}+M\frac{\partial (\delta\varphi)}{\partial x}  + Q\left(\delta\varphi + \frac{\partial (\delta w)}{\partial x}\right)\right]\mathrm{d}x - \int\limits_Lq\delta w\mathrm{d}x + \int\limits_L\left(\eta\frac{{\partial}^2 u_0}{\partial t^2}\delta u_0+J\frac{{\partial}^2\varphi}{\partial t^2}\delta\varphi + \eta\frac{{\partial}^2w}{\partial t^2}\delta w\right)\mathrm{d}x =\\
& \left[N\delta u_0 +M\delta\varphi + Q\delta w\right]_0^L + \int\limits_L\left(-\frac{\partial N}{\partial x} +\eta\frac{{\partial}^2 u_0}{\partial t^2}\right)\delta u_0~\mathrm{d}x+ \int\limits_L\left(-\frac{\partial M}{\partial x} + Q+J\frac{{\partial}^2\varphi}{\partial t^2}\right)\delta\varphi\mathrm{d}x + \int\limits_L \left(-\frac{\partial Q}{\partial x} - q + \eta\frac{{\partial}^2w}{\partial t^2}\right)\delta w\mathrm{d}x= 0
\,,\end{align}
</math>|3}}

[[Soubor:Timoshenko beam sign convention.svg|vpravo|náhled|upright=1.5|[[Znaménková konvence]] – část nosníku vymezená dvěma nekonečně blízkými průřezy{{Poznámka|Konvence užitá např. v <ref name="Levinson1981"/>, existují i jiné konvence.<ref name="Timoshenko1916"/><ref name="Timoshenko1920"/><ref name="Cowper1966"/>}} a) výchozí stav, b) deformovaný stav.]]
kde
:<math>
   N = \int\limits_A \sigma_{xx}\mathrm{d}A
</math>
je osová síla,
:<math>
   M = \int\limits_A z\sigma_{xx}\mathrm{d}A
</math>
je [[ohybový moment]] kolem osy y,
:<math>
Q = \int\limits_A \tau_{xz}\mathrm{d}A
</math>
je posouvající (smyková) síla,
:<math>
\eta = \int\limits_A \rho\mathrm{d}A
</math>
je hmotnost nosníku připadající na jednotku délky,
:<math>
J = \int\limits_A \rho z^2\mathrm{d}A
</math>
je [[moment setrvačnosti]] průřezu kolem osy <math>y</math>, a platí, že osa nosníku prochází těžišti průřezů nosníku, tj. že
:<math>
   \int\limits_L \left(\frac{{\partial}^2 u_0}{\partial t^2}\delta \varphi\int\limits_A z\rho \mathrm{d}A\right)\mathrm{d}x = \int\limits_L \left(\frac{{\partial}^2 \varphi}{\partial t^2}\delta u_0\int\limits_A z\rho \mathrm{d}A\right)\mathrm{d}x = 0\,.
</math>

Z rovnice ({{Odkaz na vzorec|3}}) , která musí platit pro libovolné geometricky přípustné posuvy <math>\delta u_0</math> a <math>\delta w</math> a natočení <math>\delta\varphi</math>, pak vyplývá soustava diferenciálních rovnic popisujících kmitání nosníku
{{Vzorec|<math>\frac{\partial N}{\partial x} = \eta\frac{{\partial}^2 u_0}{\partial t^2}</math>|4}}
:{{Vzorec|<math>\frac{\partial M}{\partial x} - Q = J\frac{{\partial}^2\varphi}{\partial t^2} </math>|5}}
{{Vzorec|<math>\frac{\partial Q}{\partial x} + q = \eta\frac{{\partial}^2w}{\partial t^2}</math>|6}}

a okrajové podmínky, které musí být specifikovány na obou koncích nosníku:
<math>N</math>, nebo <math>u_0</math>, <math>M</math>, nebo <math>\varphi</math> a <math>Q</math>, nebo <math>w</math>.

Rovnice ({{Odkaz na vzorec|5}}) a ({{Odkaz na vzorec|6}}) lze převést na jedinou parciální diferenciální rovnici
{{Vzorec|<math>
\frac{\partial^2 M}{\partial x^2} + q  = \frac{\partial}{\partial x}\left(J\frac{{\partial}^2\varphi}{\partial t^2}\right)+\eta\frac{{\partial}^2w}{\partial t^2}\,.</math>|7}}

=== Homogenní izotropní nosník ===
V případě [[homogenní látka|homogenního]] nosníku z [[Lineární|lineárně]] [[pružnost|elastického]] izotropního materiálu lze s pomocí [[Hookův zákon|Hookova zákona]] vyjádřit [[osová síla|osovou sílu]], [[ohybový moment]] a [[posouvající síla|posouvající sílu]] následujícím způsobem
:<math>N = \int\limits_A\sigma_{xx}\mathrm{d}A = \int\limits_AE\varepsilon_{xx}\mathrm{d}A = \int\limits_AE\frac{\partial u_0}{\partial x}\mathrm{d}A +
     \int\limits_A zE\frac{\partial \varphi}{\partial x}\mathrm{d}A = EA\frac{\partial u_0}{\partial x} </math>
:<math>M  = \int\limits_A z\sigma_{xx}\mathrm{d}A = \int\limits_A zE\varepsilon_{xx}\mathrm{d}A = \int\limits_A zE\frac{\partial u_0}{\partial x}\mathrm{d}A +
     \int\limits_A z^2E\frac{\partial \varphi}{\partial x}\mathrm{d}A = EI\frac{\partial \varphi}{\partial x} </math>
:<math> Q  = \int\limits_A \tau_{xz}\mathrm{d}A = \kappa \int\limits_A G\gamma_{xz}\mathrm{d}A = 
     \kappa\int\limits_A G\left(\varphi + \frac{\partial w}{\partial x}\right)\mathrm{d}A = \kappa AG\left(\varphi + \frac{\partial w}{\partial x}\right)\,,</math>
kde <math>E</math> je Youngův modul ([[modul pružnosti v tahu]]), <math>G</math> je [[modul pružnosti ve smyku]],
:<math>I = \int\limits_A z^2\mathrm{d}A</math>
je kvadratický modul průřezu a <math>\kappa</math> je [[#Opravný smykový součinitel|opravný smykový součinitel]] upravující vztah mezi smykovým přetvořením <math>\gamma_{xz}</math>, které má dle předpokladů Tymošenkovy teorie po průřezu nosníku neměnnou hodnotu (viz ({{Odkaz na vzorec|2}})), a posouvající silou <math>Q</math>. Korekční součinitel byl zaveden, protože skutečné rozložení smykového napětí po průřezu nosníku je nerovnoměrné, a tudíž velikost posouvající síly určená pomocí Hookova zákona z velikosti smykového přetvoření, u kterého je předpokládáno, že je po průřezu konstantní, by neodpovídala skutečnosti.

==== Kmitání nosníku ====
Řídicí diferenciální rovnice ({{Odkaz na vzorec|4}})-({{Odkaz na vzorec|6}}) pak mohou být vyjádřeny ve tvaru
{{Vzorec|<math>\frac{\partial }{\partial x}\left(EA\frac{\partial u_0}{\partial x}\right)= \eta\frac{{\partial}^2 u_0}{\partial t^2}</math>|8}}
{{Vzorec|<math>\frac{\partial }{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) - \kappa AG\left(\varphi+\frac{\partial w}{\partial x}\right) = J\frac{{\partial}^2\varphi}{\partial t^2}</math>|9}}
{{Vzorec|<math>\frac{\partial }{\partial x}\left[\kappa AG\left(\varphi+\frac{\partial w}{\partial x}\right)\right] + q  = \eta\frac{{\partial}^2w}{\partial t^2}\,.</math>|10}}

Je zřejmé, že rovnici ({{Odkaz na vzorec|8}}) lze řešit nezávisle na rovnicích ({{Odkaz na vzorec|9}}) a ({{Odkaz na vzorec|10}}).

U nosníku s konstantním průřezem lze rovnice ({{Odkaz na vzorec|9}}) a ({{Odkaz na vzorec|10}}), za předpokladu dostatečné hladkosti všech jejich členů, převést na jedinou rovnici
:<math> EI\frac{\partial^4 w}{\partial x^4}- \left(J + \frac{EI\eta}{\kappa AG}\right)\frac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial t^2}+\frac{J\eta }{\kappa AG}\frac{\partial^4 w}{\partial t^4}+\eta\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}= q + \frac{J}{\kappa AG}\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \frac{EI}{\kappa AG}\frac{\partial^2 q}{\partial x^2}\,,</math>
respektive
{{Vzorec|<math> \frac{\partial^4 w}{\partial x^4} - \frac{1}{c_{\mathrm{L}}^2}\left(1 + \frac{E}{\kappa G}\right)\frac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial t^2}+\frac{\rho}{c_{\mathrm{L}}^2\kappa G}\frac{\partial^4 w}{\partial t^4}+\frac{A}{c_{\mathrm{L}}^2I}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}= \frac{q}{EI} + \frac{1}{c_{\mathrm{L}}^2\kappa AG}\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \frac{1}{\kappa AG}\frac{\partial^2 q}{\partial x^2}\,,</math>|11}}
kde
:<math>c_{\mathrm{L}}=\sqrt\frac{E}{\rho}</math>
je rychlost šíření podélné vlny<ref name="Hagedorn2007"/>.

Rovnici ({{Odkaz na vzorec|11}}) lze rovněž vyjádřit ve tvaru
{{Vzorec|<math> \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{1}{c_{\mathrm{L}}^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{1}{c_{\mathrm{S}}^2\kappa}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)w + \frac{A}{c_{\mathrm{L}}^2I}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}=\frac{q}{EI} + \frac{1}{c_{\mathrm{L}}^2\kappa AG}\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \frac{1}{\kappa AG}\frac{\partial^2 q}{\partial x^2}\,,</math>|12}}
kde
:<math>c_{\mathrm{S}}=\sqrt\frac{G}{\rho}</math>
je rychlost šíření smykové vlny<ref name="Hagedorn2007"/>.

Za stejných předpokladů jako při odvození rovnice ({{Odkaz na vzorec|11}}), lze rovnice ({{Odkaz na vzorec|9}}) a ({{Odkaz na vzorec|10}}) převést na rovnici
:<math> \frac{\partial^4 \varphi}{\partial x^4} - \frac{1}{c_{\mathrm{L}}^2}\left(1 + \frac{E}{\kappa G}\right)\frac{\partial^4 \varphi}{\partial x^2\partial t^2}+\frac{\rho}{c_{\mathrm{L}}^2\kappa G}\frac{\partial^4 \varphi}{\partial t^4}+\frac{A}{c_{\mathrm{L}}^2I}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}= -\frac{1}{EI}\frac{\partial q}{\partial x}\,,</math>
která je pro <math>q=0</math> formálně totožná s ({{Odkaz na vzorec|11}}).

===== Disperze vlnění =====
Postupující harmonické vlnění lze popsat vztahem
{{Vzorec|<math>w(x,t)=D\cos\left[k\left(x-ct\right)\right]=D\cos\left(kx-\omega t\right)\,,</math>|13}}
kde <math>D</math> je [[amplituda]] kmitání, <math>c</math> je rychlost šíření vlnění ([[fázová rychlost]]), <math>\omega</math> je [[úhlová frekvence]] a <math>k</math> je [[vlnové číslo]], pro něž platí
:<math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\omega}{c}\,,</math>
kde <math>\lambda</math> označuje [[Vlnová délka|vlnovou délku]].

Dosadí-li se vztah ({{Odkaz na vzorec|13}}) do rovnice ({{Odkaz na vzorec|12}}) a předpokládá-li se, že <math>q=0</math> a <math>D\neq 0</math>, pak musí platit
:<math> \left(-k^2+\frac{\omega^2}{c_{\mathrm{L}}^2}\right)\left(-k^2+\frac{\omega^2}{\kappa c_{\mathrm{S}}^2}\right)-\frac{A\omega^2}{Ic_{\mathrm{L}}^2}=\left(-k^2+\frac{k^2c^2}{c_{\mathrm{L}}^2}\right)\left(-k^2+\frac{k^2c^2}{\kappa c_{\mathrm{S}}^2}\right)-\frac{Ak^2c^2}{Ic_{\mathrm{L}}^2}=0\,.</math>

Odtud lze odvodit vztah pro rychlost šíření vlnění ve tvaru
:<math>c_{1,2}= \sqrt{ \frac{  \left( \kappa c_{\mathrm{S}}^2+ c_{\mathrm{L}}^2 + \frac{\kappa c_{\mathrm{S}}^2A}{k^2I}\right)  \pm\sqrt{  \left(\kappa c_{\mathrm{S}}^2+ c_{\mathrm{L}}^2 + \frac{\kappa c_{\mathrm{S}}^2A}{k^2I} \right)^2-4\kappa c_{\mathrm{S}}^2c_{\mathrm{L}}^2} }{2}    }\,.</math>

Rychlost šíření vlnění je tedy závislá na vlnové délce – dochází k [[Disperze (vlnění)|disperzi vlnění]]<ref name="Hagedorn2007"/>. Pro vlnové délku blížící se v limitě nule je rychlost šíření vlnění konečná, čímž se Timošenkova teorie liší od teorie Eulerovy-Bernoulliho. To platí i pro [[grupová rychlost|grupovou rychlost]]<ref name="Hagedorn2007"/>. Z výše uvedeného vztahu je také patrné, že existují dva typy vlnění, které se šiří různou rychlostí<ref name="Hagedorn2007"/>.

==== Statický ohyb ====
V případě statického ohybu lze rovnice ({{Odkaz na vzorec|9}}) a ({{Odkaz na vzorec|10}}) převést na rovnice vhodnější pro řešení
{{Vzorec|<math>\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) = -q </math>|14}}
{{Vzorec|<math> \frac{\partial w}{\partial x} = -\varphi + \cfrac{1}{\kappa AG}\frac{\partial }{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)\,.</math>|15}}

U nosníku s konstantním průřezem lze pak psát
:<math> \frac{\partial^4 w}{\partial x^4} = \frac{q}{EI} - \frac{1}{\kappa AG}\frac{\partial^2 q}{\partial x^2}\,.</math>

===== Příklad – vetknutý nosník s konstantním spojitým zatížením =====
[[Soubor:Cantilever beam - uniformly loaded.svg|vpravo|náhled|upright=1.3|Vetknutý nosník s konstantním spojitým zatížením.]]
Pro [[vetknutí|vetknutý]] nosník ([[konzola|konzolu]]) s konstantním průřezem, který je vystavený spojitému konstantnímu svislému zatížení, lze integrací rovnic ({{Odkaz na vzorec|14}}) a ({{Odkaz na vzorec|15}}) při užití okrajových podmínek
:<math> w(L) = \varphi (L) = M(0) = Q(0) = 0</math>
získat řešení
:<math> \varphi = \frac{q}{6EI}\left(L^3-x^3\right),</math>
:<math> w = \frac{q}{2\kappa AG}\left(L^2-x^2\right) + \frac{qx}{24EI}\left(x^3-4L^3\right) + \frac{qL^4}{8EI}\,.</math>

Maximální průhyb lze vyjádřit ve tvaru
:<math> w_{\max} = \frac{qL^2}{2\kappa AG} + \frac{qL^4}{8EI} = \frac{qL^4}{8EI}\left(1 + \frac{4EI}{\kappa AGL^2}\right) = w_{\max,\mathrm{E-B}}\left(1 + \frac{4EI}{\kappa AGL^2}\right),</math>

kde člen v závorce představuje součinitel zpřesňující hodnotu průhybu získanou pomocí klasické Eulerovy-Bernoulliho teorie.

Pro nosník s obdélníkovým průřezem pak lze psát
:<math> w_{\max} = \frac{3qL^4}{2Ebh^3}\left(1 + \frac{1}{3\kappa}\frac{E}{G}\frac{h^2}{L^2}\right),</math>

kde <math>b</math> je šířka a <math>h</math> výška průřezu. Obdobný vztah platí i pro nosník z ortotropního materiálu, jehož hlavní materiálová osa je rovnoběžná s osou nosníku<ref name="Wang2000"/>. Z uvedeného vztahu je zřejmé, že vliv smykové deformace se výrazněji projeví u krátkých nosníků či nosníků z materiálů, jejichž modul pružnosti ve smyku je výrazně menší než modul pružnosti v tahu.

== Opravný smykový součinitel ==
Opravný smykový součinitel formálně udává poměr mezi rovnoměrnou poměrnou příčnou smykovou deformací nosníku, dle předpokladů Tymošenkovy teorie, a velikostí posouvající síly
:<math> \kappa= \frac{Q}{\left(\varphi + \frac{\partial w}{\partial x}\right)\int\limits_A G\mathrm{d}A}=\frac{Q}{\gamma_{xz,\mathrm{Tymo\check{s}enko}}\int\limits_A G\mathrm{d}A}\,,</math>
přičemž pro <math> \kappa= \infty </math> Tymošenkova teorie odpovídá Rayleighově teorii kmitání nosníku<ref name="Rayleigh1877"/>. Pokud se nejedná o rovinný ohyb nosníku, je zapotřebí znát alespoň dva obecně různé korekční součinitele<ref name="Schramm1994"/>.

Někdy se pojem opravný smykový součinitel užívá pro jeho převrácenou hodnotu, tj.
:<math> \kappa^{*}= \frac{1}{\kappa}\,,</math>
viz např. <ref name="Hagedorn2007"/>.

Opravný smykový součinitel lze chápat jako nástroj pro úpravu předpovědí chování nosníků dle Tymošenkovy teorie tak, aby co nejlépe odpovídaly výsledkům experimentů, či předpovědím dle přesnějších teorií<ref name="Cowper1966"/><ref name="Kaneko1975"/>. Velikost součinitele obecně závisí na tvaru<ref name="Timoshenko1916"/><ref name="Timoshenko1920"/> a velikosti<ref name="Hutchinson2001"/> průřezu, materiálových vlastnostech<ref name="Onate2013"/>, zatížení a okrajových podmínkách nosníku a frekvenci kmitání nosníku<ref name="Hutchinson1981"/>.

Výpočtové postupy jsou založeny na různých principech, např.:

* Velikost součinitele je určena z Žuravského vztahu pro smykové napětí na ose nosníku, tedy vztahu mezi posouvající silou a smykovým napětím, a Hookova zákona, pomocí něhož lze smykové napětí převést na smykové přetvoření<ref name="Timoshenko1916"/><ref name="Timoshenko1920"/><ref name="Timoshenko1940"/>.
* Velikost součinitele je určena z podmínky ekvivalence deformační energie určené pomocí součinu posouvající síly a smykového přetvoření a deformační energie určené integrací po průřezu nosníku součinu smykového napětí podle Žuravského vztahu a jemu odpovídajícího smykového přetvoření<ref name="Foeppl1909"/><ref name="Goens1931"/><ref name="Janicek1992"/>.
* Velikost součinitele vyplývá ze vztahu mezi vlastní frekvencí ohybového kmitání nosníku (dle Tymošenkovy teorie) a vlastní frekvence kmitání nosníku dle teorie pro popis kmitání dvojrozměrného kontinua (exaktní řešení – podmínka rovinného napětí, či přetvoření) či trojrozměrného kontinua (kruhový průřez nosníku – přibližné řešení)<ref name="Timoshenko1922"/>.
* Velikost součinitele vyplývá ze srovnání hodnoty nejnižší vlastní frekvence kmitání nosníku při které je průhyb nosníku <math>w</math> nulový (tzv. smykový mód kmitání) s vlastní frekvencí kmitání dvojrozměrného kontinua, u něhož je povolen pouze posuv ve směry osy nosníku a platí, že povrch nosníku je nezatížený<ref name="Mindlin1953"/>.
* Velikost součinitele vyplývá ze vztahu mezi průměrným smykovým přetvořením po průřezu nosníku a posouvající silou, přičemž hodnota přetvoření je určena z exaktního [[Analytické řešení|analytického řešení]] pro napětí po průřezu vetknutého nosníku zatíženého osamělou silou či konstantním spojitým zatížením. Pro daný tvar průřezu je potřeba znát [[Harmonická funkce|harmonickou funkci]] popisující borcení průřezu při kroucení nosníku<ref name="Cowper1966"/>.
* Velikost součinitele je určena z podmínky ekvivalence deformační energie určené pomocí součinu posouvající síly a smykového přetvoření a deformační energie odpovídající smykovému napětí, které se určí ze známých napětí dle předpokladů Eulerovy-Bernoulliho teorie ohybu nosníku a podmínek rovnováhy nekonečně malého elementu nosníku. Z toho plyne potřeba najít řešení [[Poissonova rovnice|Poissonovy rovnice]] stejného typu jako u Saint-Venantovy teorie krutu<ref name="Schramm1994"/><ref name="Onate2013"/>.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Opravné smykové součinitele pro homogenní izotropní nosník dle Cowpera<ref name="Cowper1966"/> – výběr.
|-
! Průřez !! Součinitel 
|-
| [[Soubor:Beamsection rectangle.svg|Obdélník]] || <math>\frac{10(1+\nu)}{12+11\nu}</math>
|-
| [[Soubor:Beam section - circle.svg|Kruh]]|| <math>\frac{6(1+\nu)}{7+6\nu}</math> 
|-
| [[Soubor:Beam section - ellipse.svg|Elipsa]] || <math>\frac{12(1+\nu)a^2(3a^2+b^2)}{(40+37\nu)a^4+(16+10\nu)a^2b^2+\nu b^4}</math> 
|-
| [[Soubor:Beam section - semicircle.svg|Půlkruh]] || <math>\frac{1+\nu}{1.305+1.273\nu}</math>
|-
| [[Soubor:Beam section - thick-walled tube.svg|Plnostěnná trubka]] || <math>\frac{6(1+\nu)(1+m^2)^2}{(7+6\nu)(1+m^2)^2+(20+12\nu)m^2}</math>, kde <math>m=\frac{b}{a}</math>
|-
| [[Soubor:Beam section - thin-walled tube.svg|Tenkostěnná trubka]] || <math>\frac{2(1+\nu)}{4+3\nu}</math>
|-
| [[Soubor:Beam section - thin-walled square profile.svg|Tenkostěnný uzavřený profil]] || <math>\frac{20(1+\nu)}{48+39\nu}</math>
|-
| [[Soubor:Beam section - box.svg|Uzavřený profil]]|| <math>\frac{10(1+\nu)(1+3m)^2}{(12+72m+150m^2+90m^3)+\nu(11+66m+135m^2+90m^3)+10n^2((3+\nu)m+3m^2)}</math>, kde <math>m=\frac{bt_1}{ht_2}</math> a  <math>n=\frac{b}{h}</math>
|-
| [[Soubor:Beam section - I.svg|Profil I]] || <math>\frac{10(1+\nu)(1+3m)^2}{(12+72m+150m^2+90m^3)+\nu(11+66m+135m^2+90m^3)+30n^2(m+m^2)+5\nu n^2(8m+9m^2)}</math>, kde <math>m=\frac{2bt_1}{ht_2}</math> a  <math>n=\frac{b}{h}</math> 
|-
| [[Soubor:Beam section - T.svg|Profil T]] || <math>\frac{10(1+\nu)(1+4m)^2}{(12+96m+276m^2+192m^3)+\nu(11+88m+248m^2+216m^3)+30n^2(m+m^2)+10\nu n^2(4m+5m^2+m^3)}</math>, kde <math>m=\frac{bt_1}{ht_2}</math> a  <math>n=\frac{b}{h}</math> 
|}

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Korekční součinitele pro homogenní izotropní nosník s obdélníkovým a kruhovým průřezem dle různých autorů.
|-
! Reference !! [[Soubor:Beamsection rectangle.svg|Beamsection rectangle]] !!  [[Soubor:Beam section - circle.svg|Kruh]]
|-
| Tymošenko (1916)<ref name="Timoshenko1916"/>|| <math>\frac{2}{3}\approx 0.667</math>|| <math>\frac{3}{4}</math>{{Poznámka|V Tymošenkově článku tato hodnota není uvedena, ale je založena na postupu, který Tymošenko zvolil při určení součinitele pro obdélníkový průřez.<ref name="Timoshenko1940"/>}}
|-
| Tymošenko (1922)<ref name="Timoshenko1922"/>{{Poznámka|Tymošenko explicitně neuvedl zmíněné vztahy pro velikost korekčního součinitele, byť jednoznačně vyplývají z jeho textu. Tymošenko uvedl hodnoty součinitele odpovídající Poissonově poměru <math>\nu=0.25</math>.}}, Kaneko (1975)<ref name="Kaneko1975"/>|| <math>\frac{10(1+\nu)}{12+11\nu}</math>{{Poznámka|Hodnota korekčního součinitele odpovídá stavu rovinné napjatosti.}}||  <math>\frac{6(1+\nu)^2}{7+12\nu+4\nu^2}</math>
|-
| Goens(1931)<ref name="Goens1931"/> podle Föppla<ref name="Foeppl1909"/>|| <math>\frac{5}{6}\approx 0.833</math>|| <math>\frac{9}{10}</math>
|-
| Mindlin (1953)<ref name="Mindlin1953"/>|| <math>\frac{\pi^2}{12}\approx 0.822</math>|| <math>0.847</math>
|-
| Renton (1991)<ref name="Renton1991"/>|| <math>\frac{1}{\frac{6}{5}+\left(\frac{\nu}{1+\nu}\right)^2\sum\limits_{m=0}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{144\left(\frac{b}{a}\right)^4} {\pi ^6(2m+1)^2n^2\left[(2m+1)^2\left(\frac{b}{2a}\right)^2+n^2\right] }}</math>||  <math>\frac{6(1+\nu)^2}{7+14\nu+8\nu^2}</math>
|-
| Pai (1999)<ref name="Pai1999"/>|| <math>\frac{\left(1+\nu\right )^2a^4}{36\left(\frac{\left(1+\nu\right)^2a^4}{30}+\frac{\nu^2b^4}{180}-\frac{\nu^2b^5}{2\pi^5a}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^5}\mathrm{tanh}\left(\frac{n\pi a}{b}\right)\right)}</math>||  <math>\frac{6(1+\nu)^2}{7+14\nu+8\nu^2}</math>
|-
| Hutchinson (2001)<ref name="Hutchinson2001"/>|| <math>\kappa=\frac{2(1+\nu)}{\frac{9}{4a^5b}C+\nu\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)}</math>, kde <math>C=\frac{4}{45}a^3b\left(-12a^2-15\nu a^2+5\nu b^2\right)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{16\nu^2b^5\left( n\pi a-b\mathrm{tanh}\left(\frac{n\pi a}{b}\right)\right)}{(n\pi)^5(1+\nu)}</math>|| <math>\frac{6(1+\nu)^2}{7+12\nu+4\nu^2}</math>
|}

== Historie ==
Teorii kmitání nosníku, jež zohledňuje smykovou deformaci a [[moment setrvačnosti]] průřezů nosníku, publikoval v roce [[1859]] Jacques Antoine Charles Bresse<ref name="Bresse1859"/>, profesor na [[École nationale des ponts et chaussées]]. Bresse odvodil soustavu diferenciálních rovnice popisující podélné a příčné kmitání slabě zakřiveného nosníku, ale tuto teorii ve své knize nepoužil pro řešení konkrétních problémů. Bresse nezavedl pojem korekční smykový součinitel, ale pracoval s příčnou tuhostí vyjádřenou součinem Youngova modulu pružnosti, <math>E</math>, a blíže nespecifikovaného součinitele <math>k</math>.

Tymošenko publikoval svoji teorii v ruštině v roce [[1916]]<ref name="Timoshenko1916"/> a v angličtině v roce [[1920]]<ref name="Timoshenko1920"/>, nicméně obvykle je citována anglická verze z roku [[1921]]<ref name="Timoshenko1921"/>. Tymošenko se zabýval příčným kmitáním prizmatických nosníků, přičemž doplnil existující Rayleighovu teorii kmitání nosníku z roku [[1877]]<ref name="Rayleigh1877"/> zahrnující vliv rotační setrvačnosti průřezu nosníku o korekci na smykovou deformaci nosníku. Na příkladu vlastní frekvence kmitání nosníku s obdélníkovým průřezem a s podepřenými konci ukázal, že vliv smykové deformace na velikost vlastní frekvence je výraznější než vliv rotační setrvačnosti, přičemž oba vlivy klesají se vzrůstající vlnovou délkou a vzrůstajícím poměrem délky a výšky nosníku. Opravný smykový součinitel, označený <math>k'</math><ref name="Timoshenko1916"/>, <math>\kappa'</math><ref name="Timoshenko1920"/> či <math>\lambda</math><ref name="Timoshenko1921"/>, Tymošenko stanovil na základě předpokladu, že smyková deformace po průřezu nosníku odpovídá smykové deformaci na ose nosníku stanovené pomocí přibližné Žuravského teorie. Tento postup je však sporný, neboť závisí na volbě vztažné osy nosníku<ref name="Foeppl1909"/> a neposkytuje dostatečně přesné hodnoty smykové součinitele<ref name="Kaneko1975"/>.

Ve svém článku Tymošenko Bresseho teorii nezmiňuje. Zmínku o Bresseho knize, avšak ne o Bresseho teorii, lze u Tymošenka najít v jeho pojednání o historii nauky o pružnosti a pevnosti<ref name="Timoshenko1953"/> z roku [[1953]].

Ve svém článku z roku [[1922]] se Tymošenko zabýval kmitáním nosníku s obdélníkovým průřezem, jehož tloušťka je velmi malá (stav rovinné napjatosti) nebo velmi velká (stav rovinné deformace)<ref name="Timoshenko1922"/>, přičemž k nosníku přistupoval jako k dvojrozměrnému kontinuu. Odvodil vztah pro vlastní frekvenci kmitání a srovnal jej se vztahem dle teorie ze svého předcházejícího článku. Poté ještě srovnal vztah pro vlastní frekvenci kmitání válcového nosníku dle Pochhammera<ref name="Pochhammer1876"/> se vztahem pro válcový nosník dle teorie ze svého dřívějšího článku. Pochhammerův vztah je aproximací exaktního řešení problému trojrozměrného kmitání nekonečně dlouhého nosníku s kruhovým průřezem.

K popularizaci své teorie Tymošenko později přispěl svými knihami<ref name="Timoshenko1916"/><ref name="Timoshenko1940"/><ref name="Timoshenko1937"/>.

V anglicky psané literatuře upozornil na existenci Bresseho teorie nejpozději v roce [[1893]] [[Karl Pearson]] v knize ''A history of the theory of elasticity and of the strength of materials from Galilei to the present time''<ref name="Todhunter1893"/>. V souvislosti s Tymošenkovou teorií pak na Bresseho teorii upozornili Mindlin a Deresiewicz v roce 1953<ref name="Mindlin1953"/>.

Korekce Eulerovy-Bernoulliho teorie zohledňující vliv smykové deformace na statický ohyb nosníku, která je identická s korekcí dle Tymošenka, byla publikována už v roce [[1858]] profesorem stavebního inženýrství a mechaniky na [[University of Glasgow]] [[William John Macquorn Rankine|Williamem Rankinem]]<ref name="Rankine1858"/>.

== Odkazy ==

=== Poznámky ===
{{Poznámky}}

=== Reference ===
<references>
<ref name="Rankine1858">
{{Citace monografie
 | příjmení = Rankine
 | jméno = William John Macquorn
 | odkaz na autora = 
 | titul = A manual of applied mechanics
 | vydání = 1
 | typ vydání = 
 | vydavatel = Richard Griffin
 | místo = Londýn
 | rok = 1858
 | rok copyrightu = 
 | počet stran = xiv, 640
 | edice = 
 | kapitola = 
 | strany = 342–344
 | isbn = 
 | url =http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uva.x000980024;view=2up;seq=362
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Bresse1859">
{{Citace monografie
 | příjmení = Bresse
 | jméno = Jacques Antoine Charles
 | odkaz na autora = 
 | titul = Cours de mécanique appliquée, professé à l'École impériale des ponts et chaussées
 | vydání = 1
 | typ vydání = 
 | vydavatel = Mallet-Bachelier
 | místo = Paříž
 | rok = 1859
 | rok copyrightu = 
 | počet stran = xxiv, 471
 | edice = 
 | kapitola = 2
 | strany = 122–128
 | svazek = 1
 | typ svazku = svazek
 | isbn = 
 | url = http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nnc1.cu09838783;view=2up;seq=154
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Rayleigh1877">
{{Citace monografie
 | příjmení = Strutt, baron Rayleigh
 | jméno = John William
 | odkaz na autora = John William Strutt, 3. baron Rayleigh
 | titul = Theory of Sound
 | vydání = 1
 | typ vydání = 
 | vydavatel = Macmillan
 | místo = Londýn
 | rok = 1877
 | rok copyrightu = 
 | počet stran = xii, 326
 | edice = 
 | kapitola = 8
 | strany = 201–249
 | svazek = 1
 | typ svazku = svazek
 | isbn = 
 | url = http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015024231907;view=2up;seq=218
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Pochhammer1876">
{{Citace periodika
 | příjmení = Pochhammer 
 | jméno = L 
 | titul = Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder
 | periodikum = Journal für die reine und angewandte Mathematik
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1876
 | měsíc = 
 | ročník = 81
 | číslo = 
 | strany = 324–336
 | url = http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN243919689_0081%7Clog22
 | issn = 
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Todhunter1893">
{{Citace monografie
 | příjmení = Todhunter 
 | jméno = Isaac
 | příjmení2 = Pearson 
 | jméno2 = Karl
 | odkaz na autora2 = Karl Pearson
 | titul = A history of the theory of elasticity and of the strength of materials from Galilei to the present time
 | vydání = 
 | typ vydání = 
 | vydavatel = University Press
 | místo = Cambridge
 | rok = 1893
 | rok copyrightu = 
 | počet stran = 
 | url = http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015069245176?urlappend=%3Bseq=396
 | svazek = 2
 | typ svazku = svazek 
 | kapitola = 
 | strany = 366–368
 | poznámka = 1. část 
 | isbn = 
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Love1906">
{{Citace monografie
 | příjmení = Love
 | jméno = A E H
 | odkaz na autora = 
 | titul = A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity
 | vydání = 2
 | typ vydání = 
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | místo = Cambridge
 | rok = 1906
 | počet stran = xviii, 551
 | isbn = 
 | url = https://archive.org/details/atreatiseonmath01lovegoog
}}
</ref>
<ref name="Foeppl1909">
{{Citace monografie
 | příjmení = Föppl 
 | jméno = August
 | odkaz na autora = 
 | titul = Vorlesungen über technische Mechanik
 | vydání = 4
 | typ vydání = 
 | vydavatel = Verlag von B. G. Teubner
 | místo = Leipzig 
 | rok = 1909
 | počet stran = xvi, 426
 | edice = 
 | kapitola = 28. Einfluß der Schubspannungen auf die Biegungslinie
 | typ kapitoly = paragraf
 | strany = 128–132
 | svazek = 3. Festigkeitslehre
 | typ svazku = svazek
 | isbn = 
 | url = http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/abr2954.0001.001/145?q1=vorlesung&view=image&size=100
}}
</ref>
<ref name="Timoshenko1916">
{{Citace monografie
 | příjmení = Timošenko
 | jméno = S.P.
 | odkaz na autora = 
 | titul = Kurs teorii uprugosti
 | vydání = 1
 | typ vydání = 
 | vydavatel = Institut inženerov putej soobŝeniâ Imperatora Aleksandra I
 | místo = Petrohrad 
 | rok = 1916
 | počet stran = viii, 416
 | edice = 
 | strany = 206–211
 | svazek = 2. Steržni i plastinki
 | typ svazku = část
 | isbn = 
 | url = https://xn--90ax2c.xn--p1ai/catalog/000199_000009_006591299/viewer/
}}
</ref>
<ref name="Timoshenko1920">
{{Citace periodika
 | příjmení = Timošenko  
 | jméno = Stjepan
 | titul = On the differential equation for the flexural vibrations of prismatical rods
 | periodikum = Glasnik Hrvatskoga prirodoslovnoga društva 
 | odkaz na periodikum = 
 | vydavatel = Hrvatsko prirodoslovno društvo
 | místo = Zagreb
 | rok = 1920
 | měsíc = 
 | ročník = 32
 | číslo = 2
 | strany = 55–57
 | url = http://biodiversitylibrary.org/page/11380327
 | issn = 
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Timoshenko1921">
{{Citace periodika
 | příjmení = Timoshenko 
 | jméno = Stephen Prokopovych 
 | titul = On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars
 | periodikum = Philosophical Magazine Series 6
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1921
 | měsíc = květen
 | ročník = 41
 | číslo = 245
 | strany = 744–746
 | url = 
 | issn = 1941-5982
 | doi = 10.1080/14786442108636264
}}
</ref>
<ref name="Timoshenko1922">
{{Citace periodika
 | příjmení = Timoshenko 
 | jméno = Stephen Prokopovych 
 | titul = On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section
 | periodikum = Philosophical Magazine Series 6
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1922
 | měsíc = květen
 | ročník = 43
 | číslo = 253
 | strany = 125–131
 | url = 
 | issn = 1941-5982
 | doi = 10.1080/14786442208633855
}}
</ref>
<ref name="Goens1931">
{{Citace periodika
 | příjmení = Goens 
 | jméno = E
 | titul = Über die Bestimmung des Elastizitätsmoduls von Stäben mit Hilfe von Biegungsschwingungen
 | periodikum = Annalen der Physik
 | odkaz na periodikum = Annalen der Physik
 | rok = 1931
 | měsíc = 
 | ročník = 403 (11., 5. řada)
 | číslo = 6
 | strany = 649–678
 | url = http://zs.thulb.uni-jena.de/servlets/MCRFileNodeServlet/jportal_derivate_00154441/19314030602_ftp.pdf
 | issn = 
 | doi = 10.1002/andp.19314030602
}}
</ref>
<ref name="Timoshenko1937">
{{Citace monografie
 | příjmení = Timoshenko
 | jméno = Stephen
 | titul = Vibration Problems in Engineering
 | vydání = 2
 | typ vydání = 
 | vydavatel = D. van Nostrand Company
 | místo = New York
 | rok = 1937
 | počet stran = x, 470
 | strany = 337–342
 | isbn = 
 | url = https://archive.org/stream/vibrationproblem031611mbp#page/n351/mode/2up 
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Timoshenko1940">
{{Citace monografie
 | příjmení = Timoshenko
 | jméno = Stephen
 | titul = Strength of Materials
 | vydání = 2
 | typ vydání = 
 | vydavatel = D. van Nostrand Company
 | místo = New York
 | rok = 1940
 | svazek = 1
 | počet stran = xiv, 359
 | strany = 109–118
 | isbn = 
 | url = 
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Timoshenko1953">
{{Citace monografie
 | příjmení = Timoshenko 
 | jméno = Stephen Prokopovych
 | odkaz na autora = 
 | titul = History of Strength of Materials
 | vydání = 
 | typ vydání = 
 | vydavatel = Dover Publications
 | místo = New York
 | rok = 2003
 | rok copyrightu = 1953
 | počet stran = x, 452
 | edice = 
 | kapitola = 
 | strany = 
 | isbn = 9780486611877
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Mindlin1953">{{Citace monografie
 | příjmení = Mindlin
 | jméno = R D
 | příjmení2 = Deresiewicz
 | jméno2 = H
 | titul = Timoshenko's shear coefficient for flexural vibrations of beams
 | místo = New York
 | rok = 1953
 | měsíc = červen
 | počet stran = 14, viii
 | vydavatel = Columbia University in the City of New York
 | url = http://dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=AD0013061
 }}{{Nedostupný zdroj}}</ref>
<ref name="Cowper1966">
{{Citace periodika
 | příjmení = Cowper 
 | jméno = G R 
 | titul = The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory
 | periodikum = Journal of Applied Mechanics
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1966
 | měsíc = červen
 | ročník = 33
 | číslo = 2
 | strany = 335–340
 | url = https://archive.org/details/sim_journal-of-applied-mechanics_1966-06_33_2/page/335
 | issn = 
 | doi = 10.1115/1.3625046
}}
</ref>
<ref name="Timoshenko1970">
{{Citace monografie
 | příjmení = Timoshenko 
 | jméno = S P
 | odkaz na autora = 
 | příjmení2 = Goodier 
 | jméno2 = J N
 | titul = Theory of Elasticity
 | url = https://archive.org/details/theoryofelastici0000step
 | vydání = 3
 | typ vydání = 
 | vydavatel = McGraw-Hill
 | místo = New York
 | rok = 1970
 | rok copyrightu = 
 | počet stran = xxiv, 567
 | strany = 
 | isbn = 9780070858053
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Gere">{{Citace monografie
 |příjmení      = Gere
 |jméno           = James M.
 |příjmení2     = Herrmann
 |jméno2          = George
 |příjmení3     = Kays
 |jméno3          = William M.
 |příjmení4     = Lee
 |jméno4          = Erastus H.
 |titul            = Memorial Resolution: Stephen P. Timoshenko (1878 – 1972)
 |vydavatel        = Stanford University
 |místo           = Stanford
 |isbn             = 
 |doi              = 
 |url              = http://historicalsociety.stanford.edu/pdfmem/TimoshenkoS.pdf
 |datum přístupu = 2016-03-01
 |url archivu      = https://web.archive.org/web/20160304061010/http://historicalsociety.stanford.edu/pdfmem/TimoshenkoS.pdf
 |datum archivace  = 2016-03-04
 |nedostupné      = ano
}} {{Wayback|url=http://historicalsociety.stanford.edu/pdfmem/TimoshenkoS.pdf |date=20160304061010 }}</ref>
<ref name="Kaneko1975">
{{Citace periodika
 | příjmení = Kaneko
 | jméno = T 
 | titul = On Timoshenko's correction for shear in vibrating beams
 | periodikum = Journal of Physics D: Applied Physics
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1975
 | měsíc = 
 | ročník = 8
 | číslo = 16
 | strany = 1927–1936
 | url = 
 | issn = 
 | doi = 10.1088/0022-3727/8/16/003
}}
</ref>
<ref name="Hutchinson1981">
{{Citace periodika
 | příjmení = Hutchinson
 | jméno = J R
 | titul = Transverse vibrations of beams, exact versus approximate solutions
 | periodikum = Journal of Applied Mechanics
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1981
 | měsíc = 
 | ročník = 48
 | číslo = 4
 | strany = 923–928
 | url = https://archive.org/details/sim_journal-of-applied-mechanics_1981-12_48_4/page/923
 | issn = 0021-8936
 | doi = 10.1115/1.3157757
}}
</ref>
<ref name="Levinson1981">
{{Citace periodika
 | příjmení = Levinson
 | jméno = M
 | titul = A new rectangular beam theory 
 | periodikum = Journal of Sound and Vibration
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1981
 | měsíc = 
 | ročník = 74
 | číslo = 1
 | strany = 81–87
 | url = 
 | issn = 0022-460X
 | doi = 10.1016/0022-460X(81)90493-4
}}
</ref>
<ref name="Reddy1984">
{{Citace periodika
 | příjmení = Reddy
 | jméno = J N
 | titul = A refined nonlinear theory of plates with transverse shear deformation
 | periodikum = International Journal of Solids and Structures
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1984
 | měsíc = 
 | ročník = 20
 | číslo = 9–10
 | strany = 881–896
 | url = 
 | issn = 
 | doi = 10.1016/0020-7683(84)90056-8
}}
</ref>
<ref name="Lanczos1986">
{{Citace monografie
 | příjmení = Lanczos
 | jméno = Cornelius
 | titul = The Variational Principles of Mechanics
 | vydání = 4
 | typ vydání =
 | vydavatel = Dover Publications
 | místo = 
 | rok = 1986
 | počet stran = 418
 | isbn = 978-0486650678
 | url = https://archive.org/details/variationalprinc0004lanc
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Renton1991">
{{Citace periodika
 | příjmení = Renton
 | jméno = J. D.
 | titul = Generalized beam theory applied to shear stiffness 
 | periodikum = International Journal of Solids and Structures
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1991
 | měsíc = 
 | ročník = 27
 | číslo = 15
 | strany = 1955–1967
 | url = https://archive.org/details/sim_international-journal-of-solids-and-structures_1991_27_15/page/1955
 | issn = 0020-7683
 | doi = 10.1016/0020-7683(91)90188-L
}}
</ref>
<ref name="Janicek1992">{{Citace monografie
 | příjmení = Janíček
 | jméno = Přemysl
 | příjmení2 = Ondráček
 | jméno2 = Emanuel
 | příjmení3 = Vrbka
 | jméno3 = Jan
 | titul = Mechanika těles: Pružnost a pevnost I
 | vydání = 2
 | vydavatel = Vysoké učení technické v Brně
 | místo = Brno
 | rok = 1992
 | počet stran = 287
 | isbn = 
 | url = http://www.umt-old.fme.vutbr.cz/_studium_/skripta/Pruznost_pevnost_1__Janicek_Ondracek_Vrbka.pdf
 | datum přístupu = 2016-03-01
 | url archivu = https://web.archive.org/web/20150214002327/http://www.umt-old.fme.vutbr.cz/_studium_/skripta/Pruznost_pevnost_1__Janicek_Ondracek_Vrbka.pdf
 | datum archivace = 2015-02-14
 | nedostupné = ano
 }} {{Wayback|url=http://www.umt-old.fme.vutbr.cz/_studium_/skripta/Pruznost_pevnost_1__Janicek_Ondracek_Vrbka.pdf |date=20150214002327 }}</ref>
<ref name="Schramm1994">
{{Citace periodika
 | příjmení = Schramm
 | jméno = Uwe
 | spoluautoři = et al.
 | titul = On the shear deformation coefficient in beam theory 
 | periodikum = Finite Elements in Analysis and Design
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1994
 | měsíc = květen
 | ročník = 16
 | číslo = 2
 | strany = 141–162
 | url = 
 | issn = 0168-874X
 | doi = 10.1016/0168-874X(94)00008-5
}}
</ref>
<ref name="Pai1999">
{{Citace periodika
 | příjmení = Pai
 | jméno = P. Frank
 | příjmení2 = Shultz
 | jméno2 = Mark J.
 | titul = Shear correction factors and an energy-consistent beam theory
 | periodikum = International Journal of Solids and Structures
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 1999
 | měsíc = duben
 | ročník = 36
 | číslo = 10
 | strany = 1523–1540
 | url = https://archive.org/details/sim_international-journal-of-solids-and-structures_1999-04_36_10/page/1523
 | issn = 0020-7683
 | doi = 10.1016/S0020-7683(98)00050-X
}}
</ref>
<ref name="Wang2000">
{{Citace monografie
 | příjmení = Wang
 | jméno = C. M.
 | příjmení2 = Reddy
 | jméno2 = J. N.
 | příjmení3 = Lee
 | jméno3 = K. H.
 | titul = Shear Deformable Beams and Plates: Relationships with Classical Solutions
 | vydání = 1
 | typ vydání = 
 | vydavatel = Elsevier
 | místo = Oxford 
 | rok = 2000
 | počet stran = xiv, 296
 | edice = 
 | isbn = 978-0-08-043784-2
 | url = 
 | doi = 
}}
</ref>
<ref name="Hutchinson2001">
{{Citace periodika
 | příjmení = Hutchinson
 | jméno = J R
 | titul = Shear coefficients for Timoshenko Beam Theory
 | periodikum = Journal of Applied Mechanics
 | odkaz na periodikum = 
 | rok = 2001
 | měsíc = leden
 | ročník = 68
 | číslo = 1
 | strany = 87–92
 | url = https://archive.org/details/sim_journal-of-applied-mechanics_2001-01_68_1/page/87
 | issn = 0021-8936
 | doi = 10.1115/1.1349417
}}
</ref>
<ref name="Hagedorn2007">
{{Citace monografie
 | příjmení = Hagedorn
 | jméno = Peter
 | příjmení2 = DasGupta
 | jméno2 = Anirvan
 | titul = Vibrations and Waves in Continuous Mechanical Systems
 | vydání = 1
 | typ vydání = 
 | vydavatel = John Wiley & Sons
 | místo = Chichester (England)
 | rok = 2007
 | počet stran = xiv, 382
 | edice = 
 | isbn = 978-0-470-51738-3
 | url = 
 | doi = 10.1002/9780470518434
}}
</ref>
<ref name="Elishakoff2009">
{{Citace sborníku
 | příjmení = Elishakoff
 | jméno = Isaac
 | titul = An Equation Both More Consistent and Simpler Than the Bresse-Timoshenko Equation
 | příjmení sestavitele = Gilat
 | jméno sestavitele = Rivka
 | příjmení sestavitele2 = Banks-Sills
 | jméno sestavitele2 = Leslie
 | sborník = Advances in Mathematical Modeling and Experimental Methods for Materials and Structures: The Jacob Aboudi Volume
 | vydavatel = Springer Netherlands
 | místo = Dordrecht
 | rok = 2009
 | počet stran = xxviii, 312
 | strany = 249–254
 | edice = Solid Mechanics and Its Applications
 | svazek edice = 168
 | isbn = 978-90-481-3466-3
 | url = 
 | doi = 10.1007/978-90-481-3467-0_19
}}
</ref>
<ref name="Bauchau2009">
{{Citace monografie
 | příjmení = Bauchau
 | jméno = Olivier A.
 | příjmení2 = Craig
 | jméno2 = James I.
 | titul = Structural Analysis
 | vydání = 1
 | typ vydání = 
 | vydavatel = Springer Netherlands
 | místo = Dordrecht
 | rok = 2009
 | počet stran = xxii, 943
 | edice = Solid Mechanics and Its Applications
 | svazek edice = 163
 | isbn = 978-90-481-2516-6
 | url = 
 | doi = 10.1007/978-90-481-2516-6
}}
</ref>
<ref name="Kohlhuber2012">
{{Citace kvalifikační práce
 | příjmení = Kohlhuber
 | jméno = Markus Michael
 | instituce = Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
 | titul = Ausbreitung elastischer Wellen in komplexen dünnwandigen Strukturen
 | url = http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:3:4-8175
 | typ práce = Disertační práce 
 | vedoucí = Holm Altenbach
 | rok = 2012
 | místo = Halle
 | počet stran = 182
}}
</ref>
<ref name="Mang2013">
{{Citace monografie
 | příjmení = Mang
 | jméno = Herbert
 | příjmení2 = Hofstetter
 | jméno2 = Günter
 | titul = Festigkeitslehre
 | vydání = 4
 | vydavatel =Springer-Vieweg
 | místo = 
 | rok = 2013
 | počet stran = xv, 552 
 | kapitola = 
 | strany = 
 | isbn = 978-3-642-40752-9
 | doi = 10.1007/978-3-642-40752-9
}}
</ref>
<ref name="Onate2013">
{{Citace monografie
 | příjmení = Oñate
 | jméno = Eugenio
 | titul = Structural Analysis with the Finite Element Method. Linear Statics:
 | vydání = 1
 | typ vydání =
 | svazek = 2. Beams, Plates and Shells
 | typ svazku = 
 | vydavatel = Springer Netherlands
 | místo = 
 | rok = 2013
 | počet stran = 864
 | edice = Lecture Notes on Numerical Methods in Engineering and Sciences
 | isbn = 978-1-4020-8742-4
 | url = 
 | doi = 10.1007/978-1-4020-8743-1
}}
</ref>
<ref name="Belytschko2014">
{{Citace monografie
 | příjmení = Belytschko
 | jméno = Ted
 | odkaz na autora = 
 | příjmení2 = Liu
 | jméno2 = Wing Kam
 | příjmení3 = Moran
 | jméno3 = Brian
 | příjmení4 = Elkhodary
 | jméno4 = Khalil
 | titul = Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures
 | vydání = 2
 | typ vydání = 
 | vydavatel = John Wiley & Sons
 | místo = 
 | rok = 2014
 | počet stran = xxviii, 832
 | edice = 
 | isbn = 978-1118632703
 | url = 
}}
</ref>
</references>

=== Externí odkazy ===
* [https://en.wikiversity.org/wiki/Nonlinear_finite_elements/Timoshenko_beams Tymošenkova teorie pro případ velkých průhybů – anglická Wikiverzita]
* [http://personal.egr.uri.edu/sadd/mce565/Ch5.pdf Popis a porovnání Eulerovy-Bernoulliho, Rayleighova a Tymošenkovy teorie kmitání nosníku – v angličtině] {{Wayback|url=http://personal.egr.uri.edu/sadd/mce565/Ch5.pdf |date=20160304104040 }}
* [http://imechanica.org/files/EulerBernoulli3D.pdf Tři přístupy k odvození Eulerovy-Bernoulliho teorie ohybu včetně zmínky o jejím vztahu k teorii Tymošenkově – v angličtině]
{{Autoritní data}}

{{Portály|Architektura a stavebnictví}}

[[Kategorie:Mechanika pružnosti a pevnosti]]