Zobrazení zdroje stránky Trojúhelník

{{Různé významy|tento=[[geometrie|geometrii]]}}

'''Trojúhelník''' (symbol △) je základní [[geometrický útvar]], který má tři [[Vrchol (geometrie)|vrcholy]] a tři [[Strana (geometrie)|strany]]. V [[Eukleidovská geometrie|euklidovské geometrii]] jakékoliv tři [[Bod|body]] neležící v jedné [[Přímka|přímce]] určují právě jeden trojúhelník a právě jednu [[Rovina|rovinu]] v&nbsp;dvourozměrném [[Eukleidovský prostor|euklidovském prostoru]] ([[2D]]). Trojúhelník s&nbsp;vrcholy A, B, C označujeme <math>\triangle ABC</math>, proti vrcholům leží strany ''a'', ''b'', ''c'', [[Vnitřní úhel|vnitřní úhly]] označujeme řeckými písmeny ([[Alfa|α]], [[Beta|β]], [[Gama|γ]]). Součet vnitřních úhlů takového trojúhelníku je roven 180[[stupeň (úhel)|°]] (tj. [[radián|π]] v obloukové míře). Pokud není uvedeno jinak, týká se článek pouze Euklidovské geometrie a Euklidovské roviny.

Mimo euklidovskou geometrii existuje [[sférický trojúhelník]] na [[Sféra (matematika)|kulové ploše]] (např. dostatečně velký trojúhelník vyznačený na povrchu zeměkoule), který má součet velikostí vnitřních úhlů vždy větší než 180° a trojúhelník v [[Lobačevského geometrie|hyperbolické (Lobačevského) rovině]] (tj. trojúhelník na vnitřním povrchu koule) vždy menší než 180°.

== Základní pojmy ==
[[Soubor:Triangle - angles, vertices, sides.svg|thumb|Trojúhelník ''ABC'' s vrcholy ''A'', ''B'', ''C'' a stranami ''a'', ''b'', ''c'']]
[[Soubor:Triangle - angles.svg|thumb|Vnitřní úhly: ''α, β, γ''<br />vnější úhly: ''α’'', ''β’'', ''γ’'' a ''α’’'', ''β’’'', ''γ’’'']]

[[úsečka|Úsečky]], které spojují [[vrchol (geometrie)|vrcholy]], se nazývají [[strana (geometrie)|strany]] trojúhelníku. [[Úhel|Úhly]], které svírají strany, se nazývají ''vnitřní úhly'' trojúhelníku. Vedlejší úhly k vnitřním úhlům se nazývají ''vnější úhly'' trojúhelníka (u každého vrcholu jsou dva, vnější úhel je doplněk vnitřního úhlu do 180°).<ref>{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Krynický
| jméno = Martin
| titul = Vnitřní a vnější úhly trojúhelníku I.
| url = http://www.realisticky.cz/ucebnice/03%20Matematika%20Z%C5%A0/01%206.%20ro%C4%8Dn%C3%ADk/05%20%C3%9Ahel/15%20Vnit%C5%99n%C3%AD%20a%20vn%C4%9Bj%C5%A1%C3%AD%20%C3%BAhly%20troj%C3%BAheln%C3%ADku%20I.pdf
| vydavatel = Realisticky.cz
| datum vydání = 2013-04-03
| datum přístupu = 2023-03-06
}}</ref> Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů. Trojúhelník nemá [[úhlopříčka|úhlopříčky]].

Označíme-li vrcholy trojúhelníka velkými tiskacími písmeny A, B, C, pak trojúhelník označujeme jako <math>\triangle ABC</math>. Takový trojúhelník má strany označené malými písmeny ''a'', ''b'', ''c'' tak, že stejnojmenná strana leží vždy proti stejně označenému vrcholu (tj. proti vrcholu A leží strana ''a'', proti vrcholu B leží strana ''b'' atd.). Vnitřní úhly se označují popořadě [[Řecké písmo|řeckými písmeny]] (tj. u vrcholu A leží vnitřní úhel [[Alfa|α]], u vrcholu B leží [[Beta|β]], u vrcholu C leží [[Gama|γ]]). Podobně se postupuje při označení trojúhelníka jinými písmeny, např. <math>\triangle KLM</math>. Při označení trojúhelníka má význam pořadí stran (jedná se obvykle o různé trojúhelníky), což se využívá například u [[Podobnost (geometrie)|podobnosti trojúhelníků]].

=== Druhy trojúhelníků ===
[[Eukleidés]] napsal již před dvěma tisíci lety knihu [[Eukleidovy Základy|Základy]], kde popisuje trojúhelník jako jeden ze základních geometrických elementů. Druhy trojúhelníků jsou od té doby buď přímými překlady z řečtiny nebo latiny. 

==== Podle stran ====
Euklidés definoval podle délky stran tři druhy trojúhelníků:
* Obecný trojúhelník (též ''různostranný'') – žádné dvě strany nejsou [[Shodné zobrazení|shodné]] ({{Vjazyce2|el|σκαληνὸν}}, čti ''{{IPA|skalinón}}'', znamená ''nestejné'')
* [[Rovnoramenný trojúhelník]] – dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou shodné s třetí stranou ({{Vjazyce2|el|ἰσοσκελὲς}}, čti ''{{IPA|isoskelés}}'', znamená ''stejné nohy'')
* [[Rovnostranný trojúhelník]] – všechny strany jsou shodné ({{Vjazyce2|el|ἰσόπλευρον}}, čti ''{{IPA|isópleuron}}'', znamená ''stejné strany'')
<gallery>
Soubor:Subtended -Triangle sides subtended.svg|Obecný t.
Soubor:Triangle.Equilateral.svg|Rovnostranný t.
Soubor:Triangle.Isosceles.svg|Rovnoramenný t.
</gallery>

==== Podle úhlů ====
* [[Ostroúhlý trojúhelník]] – všechny vnitřní úhly jsou ostré
* [[Pravoúhlý trojúhelník]] – jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré
* [[Tupoúhlý trojúhelník]] – jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré
<gallery>
Soubor:Triangle.Acute.svg|Ostroúhlý t.
Soubor:Triangle.Right.svg|Pravoúhlý t.
Soubor:Triangle.Obtuse.svg|Tupoúhlý t.
</gallery>

== Obvod a obsah ==
Obvod trojúhelníku ''o'' vypočteme jako součet všech jeho stran:

:<math>o = a + b + c</math> , kde <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> jsou strany trojúhelníku

[[Obsah]] trojúhelníku ''S'' se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:

:<math>S = v_a \cdot{a \over 2}={v_a\cdot a \over 2}</math>, kde <math>v_a</math> je výška příslušná straně ''a''

Pokud není známá příslušná výška, je možné obsah trojúhelníku vypočítat podle [[Heronův vzorec|Heronova vzorce]]

: <math>s = {o \over 2}</math>, kde <math>o</math> je obvod trojúhelníku

: <math>S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice opsané (<math>r</math>):

:<math>S=\frac{abc}{4r}=2r^2 \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma</math>

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice vepsané (<math>\rho</math>):

:<math>S=\frac{a+b+c}{2}\rho</math>

Obsah trojúhelníku pomocí vnitřního úhlu:

:<math>S=\frac{1}{2}ab\,\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\,\sin\beta=\frac{1}{2}bc\,\sin\alpha</math>
[[Soubor:Trojúhelník ABC-D.jpg|náhled|Zjištění, zda bod D leží uvnitř trojúhelníku ABC, podle znamének vektorových součinů.]]
Obsah obecného trojúhelníku v rovině kde (a<sub>x</sub>,a<sub>y</sub>), (b<sub>x</sub>,b<sub>y</sub>), (c<sub>x</sub>,c<sub>y</sub>) jsou souřadnice vrcholů (vychází z [[vektorový součin|vektorového součinu]], použití hlavně v grafice):

:<math>S=\frac{1}{2}|(c_x - a_x)(b_y - a_y) - (c_y - a_y)(b_x - a_x)|</math>
nebo:
:<math>S=\frac{1}{2}|[a_x (c_y - b_y) +  b_x(a_y - c_y)+c_x(b_y - a_y)]|</math>

Použije-li se předcházející vzorec bez absolutní hodnoty, lze jej využít pro ověření zda bod (d<sub>x</sub>,d<sub>y</sub>) leží uvnitř trojúhelníku ABC. V případě, že leží, tak [[Funkce signum|znaménka]] obsahů všech čtyř trojúhelníků ABC, ABD, BCD a CAD jsou stejná. Leží-li vně, nemají všechny obsahy stejné znaménko. To je kladné, obíhají-li vrcholy ve směru hodinových ručiček.

== Věty o trojúhelníku ==
V [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlém trojúhelníku]] platí:

* [[Pythagorova věta]] (c² = a² + b²)

* [[Eukleidova věta o výšce|Euklidova věta o výšce]]
V jakémkoliv obecném trojúhelníku platí:

* [[sinová věta]]
* [[kosinová věta]] (zobecnění [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]] na nepravoúhlý trojúhelník)
* [[tangentová věta]]

== Vlastnosti trojúhelníku ==

=== Trojúhelníková nerovnost ===
''[[Strana (geometrie)|Strany]]'' trojúhelníku splňují větu o [[trojúhelníková nerovnost|trojúhelníkové nerovnosti]]. Součet dvou libovolných stran trojúhelníku je vždy ''delší'' než strana třetí, neboli:

:''a'' + ''b'' > ''c''
:''a'' + ''c'' > ''b''
:''b'' + ''c'' > a
:<math>|a - b| < c</math>
:<math>|a - c| < b</math>
:<math>|b - c| < a</math>

=== Součet úhlů ===
Součet všech ''vnitřních úhlů'' je v každém trojúhelníku 180°. Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°. Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. Proti většímu úhlu leží větší strana.

:''α'' + ''α’'' = ''β'' + ''β’'' = ''γ'' + ''γ’'' = 180°

:''α'' + ''β'' = ''γ’''
:''α'' + ''γ'' = ''β’''
:''β'' + ''γ''= ''α’''

:''α'' + ''β'' + ''γ'' = 180°
:''α’'' + ''β’'' + ''γ’'' = 360°

:<math>\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}</math>
:<math>\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2}</math>
:<math>\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = 2(1+\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma )</math>
:<math>\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 - 2 \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma</math>

Zavedeme-li veličinu <math>s = \frac{1}{2}(a+b+c)</math>, pak lze velikosti vnitřních úhlů určit ze vztahů
:<math>\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}</math>
:<math>\sin\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ac}}</math>
:<math>\sin\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}</math>
:<math>\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}</math>
:<math>\cos\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}}</math>
:<math>\cos\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}</math>

=== Souměrnost ===
Obecný trojúhelník není [[Osová souměrnost|osově]] ani [[Středová souměrnost|středově souměrný]], některé druhy trojúhelníků mohou být [[osová souměrnost|osově souměrné]] např.: rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník.
=== Výška ===
[[Soubor:VyskyTrojuhelnika.jpg|right|Výška trojúhelníku]]

Výška je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem na protější stranu, resp. přímku na níž protější strana leží (nebo, stručněji řečeno, kolmice z vrcholu na protější stranu, resp. přímku na níž protější strana leží). Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá ''pata výšky''. Každý trojúhelník má tři výšky.

Přímky, na nichž leží výšky, se protínají v jednom bodě, který se nazývá ''ortocentrum''. Ortocentrum leží buď uvnitř trojúhelníku, pokud je ostroúhlý, nebo u pravoúhlého trojúhelníka splývá s jeho vrcholem, při němž je pravý úhel, anebo leží vně, je-li to trojúhelník tupoúhlý.

Spojnice jednotlivých pat výšek tvoří [[ortický trojúhelník]]. Pravoúhlý trojúhelník svůj ortický trojúhelník nemá, protože jeho dvě paty výšek splývají.

Ortocentrum tupoúhlého trojúhelníku je středem jedné z [[kružnice připsaná|kružnic připsaných]] jeho ortickému trojúhelníku.

Výšky se označují malým písmenem ''v'' s dolním indexem příslušné strany.

Pro výšky trojúhelníku platí: <math>v_a:v_b:v_c = \frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}</math>, čili:
<math>v_a.a=v_b.b=v_c.c=2S</math>, kde S je plocha trojúhelníka.

Velikosti výšek jsou určeny vztahy
:<math>v_a = b\sin\gamma = c\sin\beta</math>
:<math>v_b = a\sin\gamma = c\sin\alpha</math>
:<math>v_c = a\sin\beta = b\sin\alpha</math>

=== Těžnice ===
[[Soubor:TezniceTrojuhelnika.jpg|right|Těžnice trojúhelníku]]

[[Těžnice]] je úsečka, jejímiž krajními body jsou střed strany a protilehlý vrchol trojúhelníku. Každý trojúhelník má tři těžnice. Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá [[těžiště]]. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1, přitom vzdálenost těžiště od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva díly se ''stejným obsahem''. Těžnice se označují malým písmenem ''t'' s dolním indexem příslušné strany, těžiště se označuje písmenem ''T''. Těžiště a dva vrcholy trojúhelníku tvoří postupně tři trojúhelníky (ABT, ACT, CBT), všechny tři mají ''stejný obsah''.

Souřadnice těžiště lze vypočítat ze souřadnic bodů ''A'',''B'',''C'' podle vztahu:
:<math>T = \frac{A+B+C}{3}.</math>

Délky těžnic jsou
:<math>t_a = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2},</math>
:<math>t_b = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2},</math>
:<math>t_c = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}.</math>

=== Střední příčka ===
[[Soubor:StredniPrickyTrojuhelnika.jpg|right|Střední příčka trojúhelníku]]

''Střední příčka'' je spojnice středů dvou stran (dvou ''pat těžnic''). Každý trojúhelník má tři střední příčky. Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky – ''příčkový trojúhelník'' a tři trojúhelníky při jednotlivých vrcholech. Těžiště trojúhelníku je zároveň těžištěm jeho příčkového trojúhelníku. Střední příčky se označují malým písmenem ''s''.

=== Symediána ===
Symediána je osově souměrný obraz těžnice podle osy příslušného úhlu (např. symediána těžnice z vrcholu ''A'' podle osy úhlu při vrcholu ''A''). Každý trojúhelník má tři symediány. Všechny symediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který se nazývá [[Lemoinův bod]]. Lemoinův bod leží uvnitř trojúhelníku a platí pro něj, že má ze všech vnitřních bodů trojúhelníku nejmenší součet čtverců vzdáleností od stran trojúhelníku. Pokud Lemoinovým bodem vedeme rovnoběžky s jednotlivými stranami, všechny průsečíky těchto rovnoběžek se stranami (je jich šest) leží na kružnici, která se nazývá [[Lemoinova kružnice|první Lemoinova kružnice]]. Střed první Lemoinovy kružnice je středem úsečky spojující Lemoinův bod a střed kružnice opsané.

=== Osy úhlů ===
[[Soubor:trojuhelnik_osy.svg|thumb|Výška, osa úhlu a těžnice v trojúhelníku.]]
''Osa vnitřního úhlu'' dělí na polovinu vnitřní úhel a současně protější stranu dělí v poměru délek přilehlých stran. Osa vnějšího úhlu dělí na polovinu vnější úhel. Na [[:Soubor:trojuhelnik_osy.svg|obrázku]] je osa vnitřního úhlu <math>o_c</math>, osa vnějšího úhlu <math>o_c^\prime</math> a také těžnice <math>t_c</math> a výška <math>v_c</math> z vrcholu <math>C</math>. Podobně lze získat osy i u ostatních vrcholů.

=== Třetiny úhlů ===
[[Soubor:Morley triangle.svg|thumb|[[Morleyův trojúhelník]] je rovnostranný. Vytváří ho přímky dělící vnitřní úhly na třetiny.]]
Pokud jednotlivé vnitřní úhly rozdělíme přímkami na tři stejné díly ([[trisekce úhlu]]), průsečíky těchto přímek (vždy těch dvou, které jsou bližší dané straně trojúhelníku) vždy tvoří rovnostranný trojúhelník (''Morleyova věta'').

=== Osy stran ===
''Osa strany'' je kolmice vedená ze středu strany. Osy stran se protínají v jednom bodě (tento bod má stejnou vzdálenost od všech tří vrcholů trojúhelníka).

=== Eulerova přímka ===
[[Eulerova přímka]] je přímka, která prochází těžištěm a ortocentrem a středem [[Kružnice opsaná|opsané kružnice]]. Na Eulerově přímce leží i střed [[kružnice opsaná|kružnice opsané]] a střed [[kružnice devíti bodů]]. V rovnostranném trojúhelníku těžiště a ortocentrum splývají, takový trojúhelník Eulerovu přímku nemá.

=== Gaussova přímka ===
[[Soubor:Gauss line with description.svg|náhled|Gaussova přímka ''g'' se odvozuje popsaným způsobem od trojúhelníku ''ABC'' a přímky ''p.'']]
Pokud přímka ''p'' protíná přímky, na nichž leží strany obecného trojúhelníku, v bodech ''X, Y, Z,'' pak středy úseček ''AX, BY, CZ'' leží na přímce. Tato přímka ''g'' se nazývá ''Gaussova přímka''.

=== Kružnice opsaná ===
[[Soubor:KruzniceOpsanaTrojuhelniku.jpg|thumb|Opsaná kružnice]]
[[Kružnice opsaná]] trojúhelníku je [[kružnice]], která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. ''Střed'' kružnice opsané leží v ''průsečíku os stran'', [[poloměr]] se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Spojnice středu kružnice opsané a jednotlivých vrcholů trojúhelníku jsou kolmé k jednotlivým stranám jeho ortického trojúhelníku (tzv. ''Nagelova věta''). 

Velikost [[poloměr]]u opsané [[kružnice]] určuje vztah
:<math>r = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}.</math>

=== Kružnice vepsaná ===
[[Soubor:KruzniceVepsanaTrojuhelniku.jpg|thumb|Vepsaná kružnice]]
[[Kružnice vepsaná]] trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku [[Úhel#Souměrnost|os vnitřních úhlů]], ''poloměr'' se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany.

Pro poloměr kružnice vepsané platí
:<math>\rho = \frac{1}{2}(a+b+c) \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \operatorname{tg}\frac{\beta}{2} \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2} = \frac{S}{s}.</math>

Vzdálenost mezi středy kružnice vepsané a opsané je 
:<math>d = \sqrt{r^2 - 2r\rho}.</math>

=== Kružnice připsaná ===
[[Kružnice připsaná]] trojúhelníku je kružnice, která se dotýká jedné strany trojúhelníku a dvou přímek, které jsou prodloužením zbývajících stran trojúhelníku. Střed kružnice připsané leží v průsečíku osy jednoho vnitřního úhlu a dvou vedlejších úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Každý trojúhelník má tři kružnice připsané.

=== Kružnice devíti bodů ===
{{podrobně|Kružnice devíti bodů}}
Na kružnici devíti bodů leží středy stran, paty výšek a středy spojnic vrcholů se společným průsečíkem výšek. Také se dotýká kružnice vepsané a kružnic připsaných.

== Konstrukce trojúhelníku ==
{{podrobně|Konstrukce trojúhelníku}}
Trojúhelník může být určen:
* (sss) délkou všech tří stran,
* (sus) délkou dvou stran a velikostí úhlu, který svírají,
* (usu) délkou strany a velikostí úhlů, které k ní přiléhají,
* (Ssu) délkou dvou stran a velikostí úhlu proti větší z nich.<ref>{{Citace elektronického periodika
| titul = Konstrukce trojúhelníků: věty sss, sus, usu, Ssu – Procvičování online – Umíme matiku
| periodikum = www.umimematiku.cz
| url = https://www.umimematiku.cz/cviceni-konstrukce-trojuhelniku-vety-sss-sus-usu-ssu
| jazyk = cs
| datum přístupu = 2023-06-26
}}</ref>
Ke konstrukci trojúhelníku se mohou použít i výšky, těžnice atd.

== Odkazy ==
=== Literatura ===
* {{Citace monografie
 | příjmení = Švrček
 | jméno = Jaroslav
 | odkaz na autora = Jaroslav Švrček (matematik)
 | příjmení2 = Vanžura
 | jméno2 = Jiří
 | titul = Geometrie trojúhelníka
 | vydavatel = Nakladatelství technické literatury
 | místo = Praha
 | rok = 1988
 | isbn = 
 | kapitola =
 | strany = 
}}

=== Reference ===
<references />

=== Související články ===
* [[Pravoúhlý trojúhelník]]
* [[Matematika]]
* [[Geometrie]]
* [[Planimetrie]] – rovinné geometrické útvary
* [[Geometrický útvar]]
* [[Věty o shodnosti trojúhelníku]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{Wikicitáty|téma=Trojúhelník}}
* {{Wikislovník|heslo=trojúhelník}}
* [https://web.archive.org/web/20161228073202/http://trig.wz.cz/ Výpočet úhlů a stran pravoúhlého trojúhelníku]
* [http://www.matematika.webz.cz/ostatni/trojuhelnik/ Základní konstrukce v trojúhelníku] – flashová animace sestrojení výšek, těžnic, kružnic opsané a vepsané

{{Mnohoúhelníky}}
{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Trojúhelník| ]]
[[Kategorie:Mnohoúhelníky]]